До змісту

ГДЗ до вправи 38.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 38.19

Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4 у точці з абсцисою x0=−2x_0 = -2.

Розв'язок вправи № 38.19

Коротке рішення

Умова: f(x)=x2−4,x0=−2f(x) = x^2 - 4, x_0 = -2.

1) f(−2)=(−2)2−4=0f(-2) = (-2)^2 - 4 = 0.

2) f′(x)=2x⇒f′(−2)=2⋅(−2)=−4f'(x) = 2x \Rightarrow f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4.

3) Рівняння дотичної: y=−4(x+2)+0⇒y=−4x−8y = -4(x + 2) + 0 \Rightarrow y = -4x - 8.

4) Перетин з осями: з OyOy — (0;−8)(0; -8), з OxOx — (−2;0)(-2; 0).

5) Площа: S=12⋅∣x∣⋅∣y∣=12⋅2⋅8=8S = \frac{1}{2} \cdot |x| \cdot |y| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8.

Відповідь: 8.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Площа прямокутного трикутника, утвореного дотичною та осями координат, дорівнює половині добутку модулів координат точок перетину дотичної з осями OxOx та OyOy. Теорія: Похідна та її застосування.

  • Спочатку складаємо повне рівняння дотичної до функції f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4 у точці x0=−2x_0 = -2.
  • Знаходимо точки перетину дотичної y=−4x−8y = -4x - 8 з осями координат: при x=0x=0 отримуємо y=−8y=-8, а при y=0y=0 отримуємо x=−2x=-2.
  • Катети утвореного прямокутного трикутника лежать на осях координат, а їхні довжини дорівнюють абсолютним значенням знайдених координат (2 та 8).
  • Обчислюємо площу за формулою S=12abS = \frac{1}{2}ab.

Популярне у 10 класі