ГДЗ до вправи 38.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Дотична паралельна прямій, якщо їхні кутові коефіцієнти рівні: $f'(x_0) = k.$

1) $f(x) = x - x^{-2}, y = 3x \Rightarrow k = 3$

$f'(x) = 1 + 2x^{-3} = 1 + \frac{2}{x^3}$.

$1 + \frac{2}{x_0^3} = 3 \Rightarrow \frac{2}{x_0^3} = 2 \Rightarrow x_0^3 = 1 \Rightarrow x_0 = 1$.

$f(1) = 1 - 1 = 0$.

$y = 3(x - 1) + 0 \Rightarrow y = 3x - 3$.

Відповідь: $y = 3x - 3$.

---

2) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 10x - 1, y = 2x + 1 \Rightarrow k = 2$

$f'(x) = 6x^2 + 6x - 10$.

$6x_0^2 + 6x_0 - 10 = 2 \Rightarrow x_0^2 + x_0 - 2 = 0 \Rightarrow x_{01} = 1, x_{02} = -2$.

При $x_0 = 1: f(1) = 2+3-10-1 = -6 \Rightarrow y = 2(x - 1) - 6 \Rightarrow$
$y = 2x - 8.$

При $x_0 = -2: f(-2) = -16+12+20-1 = 15 \Rightarrow y = 2(x + 2) + 15 \Rightarrow$
$y = 2x + 19$.

Відповідь: $y = 2x - 8, y = 2x + 19$.

• У першому пункті важливо подати дріб як степінь $x^{-2}$ для зручного диференціювання.
• У другому пункті отримане квадратне рівняння має два корені, що вказує на існування двох паралельних дотичних до графіка даної функції.
• Рівняння дотичної завжди зводиться до вигляду $y = kx + b$.