До змісту

ГДЗ до вправи 38.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 38.17

Установіть, чи є пряма y=12x−10y = 12x - 10 дотичною до графіка функції f(x)=4x3f(x) = 4x^3. У разі ствердної відповіді вкажіть абсцису точки дотику.

Розв'язок вправи № 38.17

Коротке рішення

Умова: f(x)=4x3f(x) = 4x^3 та пряма y=12x−10y = 12x - 10 (k=12k = 12).

1) f′(x)=12x2f'(x) = 12x^2. Знайдемо точки, де f′(x0)=12f'(x_0) = 12: 12x02=12⇒x02=1⇒x0=±112x_0^2 = 12 \Rightarrow x_0^2 = 1 \Rightarrow x_0 = \pm 1.

2) Якщо x0=1x_0 = 1: f(1)=4⋅13=4f(1) = 4 \cdot 1^3 = 4. Рівняння дотичної: y=12(x−1)+4=12x−8y = 12(x - 1) + 4 = 12x - 8. Не збігається з y=12x−10y = 12x - 10.

3) Якщо x0=−1x_0 = -1: f(−1)=4⋅(−1)3=−4f(-1) = 4 \cdot (-1)^3 = -4. Рівняння дотичної: y=12(x+1)−4=12x+8y = 12(x + 1) - 4 = 12x + 8. Не збігається з y=12x−10y = 12x - 10.

Відповідь: Ні, пряма не є дотичною.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Щоб пряма була дотичною, вона повинна мати той самий кутовий коефіцієнт, що й дотична (f′(x0)=kf'(x_0) = k), і проходити через точку графіка (x0;f(x0))(x_0; f(x_0)). Теорія: Похідна та її застосування.

  • Спочатку прирівнюємо похідну функції до кутового коефіцієнта заданої прямої k=12k=12.
  • Знаходимо можливі абсциси точок дотику x0x_0.
  • Для кожної знайденої точки складаємо рівняння дотичної за формулою y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) та перевіряємо, чи збігається воно із заданим у завданні.

Популярне у 10 класі