ГДЗ до вправи 39.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Для ірраціональної функції спершу знайдемо область визначення (ОДЗ).

$f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \Rightarrow x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow |x| \ge 1 \Rightarrow x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2 - 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$.

Зростає: $f'(x) \ge 0 \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \ge 0$ на ОДЗ. Оскільки знаменник додатний при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, то $x > 0$. З урахуванням ОДЗ: $x \in [1; +\infty).$

Спадає: $f'(x) \le 0 \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \le 0$ на ОДЗ. Аналогічно $x < 0$. З урахуванням ОДЗ: $x \in (-\infty; -1]$.

Відповідь: зростає на $[1; +\infty)$, спадає на $(-\infty; -1]$.

• Знаходимо ОДЗ, розв'язуючи нерівність для підкореневого виразу: $x^2 - 1 \ge 0$.
• Диференціюємо функцію як складену: $y = \sqrt{u}$, де $u = x^2 - 1$. Похідна має вигляд $f'(x) = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
• Аналізуємо знак отриманого дробу. Оскільки корінь у знаменнику завжди додатний (усередині ОДЗ), знак похідної повністю залежить від знака чисельника, тобто від знака $x$.
• Записуємо кінцеві проміжки, включаючи точки $-1$ та $1$, у яких функція неперервна.