ГДЗ до вправи 39.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Для визначення монотонності знаходимо знак похідної.

1) $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x \Rightarrow f'(x) = \sqrt{2} + \cos x$. Оскільки $\sqrt{2} > 1$ і $\cos x \ge -1$, то $\sqrt{2} + \cos x > 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$.

Відповідь: зростає на $\mathbb{R}$.

---

2) $f(x) = x - \cos x \Rightarrow f'(x) = 1 + \sin x$. Оскільки $\sin x \ge -1$, то $1 + \sin x \ge 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$. Похідна дорівнює нулю лише в окремих точках.

Відповідь: зростає на $\mathbb{R}$.

---

3) $y = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2} \Rightarrow y' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Зростає: $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0 \Rightarrow \sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Відповідь: зростає на $[-\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, спадає на $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

• У пунктах 1 та 2 похідні завжди невід'ємні через те, що додана до тригонометричної функції константа за модулем більша або дорівнює 1. Це робить функцію монотонно зростаючою на всій числовій осі.
• У третьому пункті кутовий коефіцієнт $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$, тому похідна змінює свій знак.
• Проміжки монотонності в 3-му прикладі знаходимо, розв'язуючи нерівності $\sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ та $\sin x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ на одиничному колі з урахуванням періоду $2\pi$.