До змісту

ГДЗ до вправи 39.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 39.13

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

1) f(x)=sin⁡x−xf(x) = \sin x - x;

2) f(x)=x22−sin⁡xf(x) = \frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x.

Розв'язок вправи № 39.13

Коротке рішення

Для визначення монотонності знаходимо похідну та її знаки.

1) f(x)=sin⁡x−x⇒f′(x)=cos⁡x−1f(x) = \sin x - x \Rightarrow f'(x) = \cos x - 1.

Оскільки cos⁡x≤1\cos x \le 1, то cos⁡x−1≤0\cos x - 1 \le 0 для всіх x∈Rx \in \mathbb{R}.

Похідна недодатна на всій області визначення.

Відповідь: спадає на R\mathbb{R}.

2) f(x)=x22−sin⁡x⇒f′(x)=22−cos⁡xf(x) = \frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x \Rightarrow f'(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x.

Зростає: 22−cos⁡x≥0⇒cos⁡x≤22\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \ge 0 \Rightarrow \cos x \le \frac{\sqrt{2}}{2}.

Спадає: 22−cos⁡x≤0⇒cos⁡x≥22\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \le 0 \Rightarrow \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}.

Відповідь: зростає на [π4+2πk;7π4+2πk][\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k], спадає на [−π4+2πk;π4+2πk],k∈Z[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Використовуйте достатні умови зростання (f′(x)≥0f'(x) \ge 0) та спадання (f′(x)≤0f'(x) \le 0) функції. У тригонометричних функціях важливо враховувати періодичність розв'язків. Теорія: Похідна тригонометричних функцій.

  • У першому пункті похідна ніколи не стає додатною, оскільки найбільше значення косинуса дорівнює 1. Це означає, що функція монотонно спадає на всій числовій прямій.
  • У другому пункті ми розв'язуємо найпростіші тригонометричні нерівності для cos⁡x\cos x відносно значення 22\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Проміжки спадання відповідають верхній частині дуги одиничного кола (де абсциса більша за 22\frac{\sqrt{2}}{2}), а проміжки зростання — решті кола.

Популярне у 10 класі