ГДЗ до вправи 39.18 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Функція зростає на проміжку, якщо $y' \ge 0$ для всіх $x$ із цього проміжку.

1) $y = x^3 - ax \Rightarrow y' = 3x^2 - a$

$3x^2 - a \ge 0$ має виконуватися для всіх $x \in \mathbb{R}$. Найменше значення $3x^2$ дорівнює 0, тому $0 - a \ge 0 \Rightarrow a \le 0$.

Відповідь: $a \in (-\infty; 0]$.

2) $y = 3 \sin 4x + ax \Rightarrow y' = 12 \cos 4x + a$

$12 \cos 4x + a \ge 0 \Rightarrow a \ge -12 \cos 4x$. Оскільки максимальне значення виразу $-12 \cos 4x$ дорівнює 12 (коли $\cos 4x = -1$), то $a \ge 12$.

Відповідь: $a \in [12; +\infty)$.

3) $y = -2\sqrt{1 - x} + ax \Rightarrow y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} + a$

Область визначення: $x < 1$. Оскільки вираз $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ завжди додатний і може бути як завгодно малим (при $x \to -\infty$), то для того, щоб $y' \ge 0$, параметр $a$ має бути невід'ємним.

Відповідь: $a \in [0; +\infty)$.

4) $y = \frac{x^3}{3} + 2(a + 1)x^2 + 9x - 4 \Rightarrow y' = x^2 + 4(a + 1)x + 9$

Квадратний тричлен $\ge 0$ для всіх $x$, якщо його дискримінант $D \le 0$:

$D/4 = [2(a + 1)]^2 - 9 = 4(a^2 + 2a + 1) - 9 = 4a^2 + 8a - 5 \le 0$.

Корені $4a^2 + 8a - 5 = 0$: $a = \frac{-8 \pm 12}{8} \Rightarrow a_1 = 0,5; a_2 = -2,5$.

Відповідь: $a \in [-2,5; 0,5]$.

• У першому пункті похідна є параболою. Для її невід'ємності необхідно змістити її вгору або залишити вершину на осі $Ox$.
• У другому пункті ми враховуємо, що косинус коливається в межах від $-1$ до $1$. Щоб сума була завжди $\ge 0$, константа $a$ повинна "перекривати" мінімальне значення тригонометричної частини.
• У четвертому пункті похідною є квадратна функція зі старшим коефіцієнтом $1 > 0$. Вона набуває лише невід'ємних значень тоді, коли не має двох різних дійсних коренів (графік не опускається нижче осі $Ox$).