ГДЗ до вправи 39.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 39.17
На рисунку 39.18 зображено графіки функцій $f$ і $g$, визначених на $\mathbb{R}$. Використовуючи ці графіки, розв’яжіть нерівність:
1) $f'(x) \ge 0$;
2) $g'(x) \le 0$.
Розв'язок вправи № 39.17
Коротке рішення
Знак похідної вказує на монотонність функції: $f'(x) \ge 0$ там, де функція зростає, а $g'(x) \le 0$ — там, де спадає або є сталою.
1) $f'(x) \ge 0$
За графіком функція $f$ зростає при $x \in [0; +\infty)$. Відлік ведемо від точки мінімуму в початку координат.
Відповідь: $[0; +\infty)$.
2) $g'(x) \le 0$
За графіком функція $g$ спадає на відрізку від локального максимуму до локального мінімуму, тобто при $x \in [-3; 1]$. Також похідна дорівнює нулю (недодатна) на промені, де функція стала: $x \in [2; +\infty)$.
Відповідь: $[-3; 1] \cup [2; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Значення похідної в точці — це тангенс кута нахилу дотичної. Якщо функція йде "вгору" (зростає), дотична утворює гострий кут, і похідна додатна. Якщо функція йде "вниз" (спадає), похідна від'ємна. Теорія: Геометричний зміст похідної та монотонність.
- Аналізуємо графік $f(x)$: від $-\infty$ до $0$ графік опускається (функція спадає, $f'(x) < 0$). Починаючи з $x=0$ графік піднімається вгору, що відповідає умові $f'(x) \ge 0$.
- Аналізуємо графік $g(x)$: одиничний відрізок на осі абсцис дорівнює двом клітинкам.
- Функція $g$ має пік (максимум) три клітинки лівіше нуля, що відповідає $x = -3$.
- Мінімум знаходиться на дві клітинки правіше нуля ($x = 1$). Між цими точками функція спадає.
- Починаючи з $x = 2$ (чотири клітинки від нуля), графік стає горизонтальною прямою, отже $g'(x) = 0$, що також задовольняє нерівності $\le 0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.