ГДЗ до вправи 40.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $f(x) = \frac{x}{2} - \sin x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2} - \cos x$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \cos x = 0,5 \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Зростає на $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$ (де $\cos x \le 0,5$); спадає на $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$.

Відповідь: $x_{max} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, x_{min} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $f(x) = \cos 2x - x\sqrt{3} \Rightarrow f'(x) = -2 \sin 2x - \sqrt{3}$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Зростає: $\sin 2x \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x \in [-\frac{\pi}{3} + \pi k; -\frac{\pi}{6} + \pi k]$.

Спадає: $\sin 2x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x \in [-\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k]$.

Відповідь: $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + \pi k, x_{min} = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті похідна $f'(x) = 0,5 - \cos x$ додатна там, де косинус менший за 0,5. Це відповідає більшій частині одиничного кола.
• У другому пункті використовується похідна складеної функції $(\cos 2x)' = -2 \sin 2x$.
• Аналіз знаків проводиться за допомогою тригонометричного кола або графіка відповідної функції синуса чи косинуса.