ГДЗ до вправи 40.28 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $f(x) = \cos x \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \left(\cos \frac{\pi}{3} + \cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\right) =$
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.

$f'(x) = - \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - \frac{\pi}{3} = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Максимуми: $2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi k$. Мінімуми: $2x - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$.

Відповідь: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + \pi k, x_{min} = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = \sqrt{3} \cos x - \sin x - x = 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - x$.

$f'(x) = -2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \Rightarrow x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$.

На періоді: $x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ (мінімум), $x_2 = -\pi + 2\pi k$ (максимум).

Відповідь: $x_{max} = -\pi + 2\pi k, x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті після перетворення добутку косинусів ми отримали просту гармонічну функцію зі зміщеним аргументом. Знак похідної змінюється в нулях функції синус, що дає чергування точок мінімуму та максимуму через кожні $\pi$ одиниць (через подвоєний аргумент).
• У другому пункті ми звели вираз $\sqrt{3} \cos x - \sin x$ до однієї функції косинус. Похідна містить сталу $-1$, тому ми розв'язуємо рівняння $\sin(u) = -0,5$, де $u = x + \frac{\pi}{6}$.
• Аналіз знаків похідної виконується з урахуванням того, що перед синусом стоїть від'ємний коефіцієнт $-2$, який «перевертає» стандартні інтервали зростання/спадання.