ГДЗ до вправи 40.31 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 40.31
При яких значеннях параметра $a$ точка $x_0 = 1$ є точкою мінімуму функції:
$y = \frac{x^3}{3} + ax^2 + (a^2 - 4)x + 7$?
Розв'язок вправи № 40.31
Коротке рішення
Для того щоб $x_0 = 1$ була точкою мінімуму, необхідно, щоб $y'(1) = 0$ та при переході через цю точку похідна змінювала знак з «–» на «+».
1) Знайдемо похідну: $y' = x^2 + 2ax + a^2 - 4$.
2) Умова $y'(1) = 0$: $1^2 + 2a \cdot 1 + a^2 - 4 = 0 \Rightarrow a^2 + 2a - 3 = 0$. За теоремою Вієта: $a_1 = 1$, $a_2 = -3$.
3) Перевіримо отримані значення:
- Якщо $a = 1$, то $y' = x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$. При переході через $x = 1$ знак змінюється з «–» на «+». Точка $x_0 = 1$ є точкою мінімуму. Підходить.
- Якщо $a = -3$, то $y' = x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$. При переході через $x = 1$ знак змінюється з «+» на «–». Точка $x_0 = 1$ є точкою максимуму. Не підходить.
Відповідь: $a = 1$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Задача базується на необхідній умові екстремуму (рівність похідної нулю) та достатній умові (зміна знака похідної). У завданнях з параметром важливо не лише знайти потенційні значення $a$, а й перевірити, який саме тип екстремуму вони забезпечують. Теорія: Ознаки точок максимуму і мінімуму.
- Спочатку ми диференціюємо функцію як многочлен. Дріб $\frac{x^3}{3}$ перетворюється на $x^2$.
- Підстановка $x = 1$ у вираз похідної дає нам квадратне рівняння відносно параметра $a$.
- Аналіз отриманих результатів показує, що хоча обидва значення $a$ перетворюють похідну в нуль у точці $x = 1$, характер зміни монотонності в них різний.
- Тільки при $a = 1$ функція змінює спадання на зростання, що відповідає визначенню локального мінімуму.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.