ГДЗ до вправи 40.30 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 40.30
При яких значеннях параметра $a$ функція $y = \frac{x^3}{3} - \frac{3a - 1}{2}x^2 + (2a^2 - a)x + 19$ має додатну точку мінімуму?
Розв'язок вправи № 40.30
Коротке рішення
1) Обчислимо похідну: $y' = x^2 - (3a - 1)x + (2a^2 - a)$.
2) Знайдемо нулі похідної: $D = (3a - 1)^2 - 4(2a^2 - a) = 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 4a =$
$= a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.
$x_1 = \frac{3a - 1 - (a - 1)}{2} = a$; $x_2 = \frac{3a - 1 + (a - 1)}{2} = 2a - 1$.
3) Точкою мінімуму для параболи з вітками вгору є її більший корінь.
– Випадок $a > 1$: тоді $2a - 1 > a$. $x_{min} = 2a - 1$. Умова: $2a - 1 > 0 \Rightarrow a > 0,5$. Звідси $a \in (1; +\infty)$.
– Випадок $a < 1$: тоді $a > 2a - 1$. $x_{min} = a$. Умова: $a > 0$. Звідси $a \in (0; 1)$.
– При $a = 1$ корені збігаються, точка мінімуму відсутня.
Відповідь: $a \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Дослідження точок екстремуму функції з параметром зводиться до аналізу коренів її похідної. Умова "додатна точка мінімуму" вимагає не лише знаходження самої точки, а й перевірки її значення залежно від параметра. Теорія: Достатні умови існування екстремуму.
- Диференціюємо функцію, звертаючи увагу на знаки при параметрі $a$.
- Розв'язуємо квадратне рівняння для знаходження критичних точок. Виявлення дискримінанта як повного квадрата дозволяє чітко виразити корені через $a$.
- Визначаємо, який з коренів є точкою мінімуму, порівнюючи їхні значення. Більший корінь завжди відповідає мінімуму для функцій такого типу.
- Накладаємо обмеження $x > 0$ на знайдену точку мінімуму в кожному з інтервалів для $a$.
- Об'єднуємо отримані проміжки, виключаючи значення, при яких функція не має екстремумів.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.