ГДЗ до вправи 40.34 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 40.34
При яких значеннях параметра $a$ точка $x_0 = 2$ є точкою екстремуму функції:
$y = x^3 - 2ax^2 + (2a^2 - 2a)x + 9$?
Розв'язок вправи № 40.34
Коротке рішення
Знайдемо критичні точки за допомогою похідної.
1) Обчислимо похідну: $y' = 3x^2 - 4ax + 2a^2 - 2a$.
2) В точці екстремуму $y'(2) = 0$. Підставимо $x = 2$: $3 \cdot 2^2 - 4a \cdot 2 + 2a^2 - 2a = 0 \Rightarrow 12 - 8a + 2a^2 - 2a = 0 \Rightarrow $
$2a^2 - 10a + 12 = 0$.
Поділимо на 2: $a^2 - 5a + 6 = 0$. Корені: $a_1 = 2$, $a_2 = 3$.
3) Перевіримо ці значення:
- Якщо $a = 2$, то $y' = 3x^2 - 8x + 4 = (x - 2)(3x - 2)$. При переході через $x = 2$ знак похідної змінюється. Це точка екстремуму. Підходить.
- Якщо $a = 3$, то $y' = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x - 2)^2$. Похідна не змінює знак при переході через $x = 2$. Це критична точка, але не екстремум. Не підходить.
Відповідь: $a = 2$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Використовуйте алгоритм: необхідна умова екстремуму $\rightarrow$ розв'язання рівняння відносно параметра $\rightarrow$ перевірка на зміну знаку похідної (достатня умова). Теорія: Дослідження функцій за допомогою похідної.
- Знаходимо похідну вихідної функції.
- Підставляємо значення $x = 2$ у похідну та прирівнюємо її до нуля, щоб знайти значення параметра $a$, при яких у цій точці можливий екстремум.
- Для кожного отриманого значення $a$ аналізуємо вираз похідної. Важливо пам'ятати, що якщо похідна є повним квадратом (як у випадку $a=3$), то в точці дотику з віссю $Ox$ екстремуму не існує.
- Тільки у випадку $a = 2$ похідна має два різних корені, що забезпечує чергування знаків «+» та «–» і робить точку $x=2$ точкою мінімуму або максимуму.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.