ГДЗ до вправи 40.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 40.7
Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:
1) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$;
2) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4$;
3) $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2$;
4) $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4$.
Розв'язок вправи № 40.7
Коротке рішення
Алгоритм: знаходження $f'(x)$, критичних точок та дослідження зміни знаку похідної.
1) $f'(x) = 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$. Критичні точки: $-2; 2$. При переході через $-2$ знак змінюється з «–» на «+» (мінімум), через $2$ — з «+» на «–» (максимум).
Відповідь: $x_{min} = -2, x_{max} = 2$.
2) $f'(x) = x^2 + 6x - 7 = (x + 7)(x - 1)$. Критичні точки: $-7; 1$. Знаки похідної: «+», «–», «+».
Відповідь: $x_{max} = -7, x_{min} = 1$.
3) $f'(x) = 8x^3 - 12x^2 = 4x^2(2x - 3)$. Критичні точки: $0; 1,5$. При переході через $0$ знак не змінюється («–»), через $1,5$ — з «–» на «+».
Відповідь: $x_{min} = 1,5$.
4) $f'(x) = 2x + 6x^2 - 8x^3 = -2x(4x^2 - 3x - 1) = -2x(x - 1)(4x + 1)$. Критичні точки: $-0,25; 0; 1$. Знаки: «+», «–», «+», «–».
Відповідь: $x_{max} = -0,25; 1, x_{min} = 0$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для пошуку точок екстремуму необхідно визначити точки, у яких похідна дорівнює нулю, і проаналізувати зміну знака похідної при переході через ці точки. Теорія: Достатні умови екстремуму.
- У третьому пункті точка $x = 0$ не є точкою екстремуму, оскільки похідна містить множник $x^2$, який не змінює знак функції при переході через нуль.
- У четвертому пункті при розкладанні похідної на множники використовуємо корені квадратного тричлена $4x^2 - 3x - 1$.
- Зміна знака з «+» на «–» завжди вказує на точку максимуму, а з «–» на «+» — на точку мінімуму.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.