ГДЗ до вправи 40.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 40.11
Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:
1) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9$;
2) $f(x) = (x + 4)^4(x - 3)^3$.
Розв'язок вправи № 40.11
Коротке рішення
1) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9 \Rightarrow f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12x =$
$= 12x(x^2 - 2x + 1) = 12x(x - 1)^2$.
Критичні точки: $0; 1$. Знаки похідної: на $(-\infty; 0)$ — «–», на $(0; 1)$ — «+», на $(1; +\infty)$ — «+».
Спадає на $(-\infty; 0]$, зростає на $[0; +\infty)$. $x_{min} = 0$. Точка $x=1$ не є екстремумом.
2) $f(x) = (x + 4)^4(x - 3)^3 \Rightarrow $
$f'(x) = 4(x + 4)^3(x - 3)^3 + 3(x + 4)^4(x - 3)^2 =$
$= (x + 4)^3(x - 3)^2 (4x - 12 + 3x + 12) = 7x(x + 4)^3(x - 3)^2$.
Критичні точки: $-4; 0; 3$. Знаки похідної: на $(-\infty; -4)$ — «+», на $(-4; 0)$ — «–», на $(0; 3)$ — «+», на $(3; +\infty)$ — «+».
Зростає на $(-\infty; -4]$ та $[0; +\infty)$, спадає на $[-4; 0]$. $x_{max} = -4, x_{min} = 0$.
Відповідь: 1) $x_{min} = 0$; 2) $x_{max} = -4, x_{min} = 0$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для пошуку екстремумів складених функцій важливо правильно застосувати правило добутку $(uv)' = u'v + uv'$ та метод інтервалів для визначення знаку похідної. Пам'ятайте: якщо множник у похідній має парний степінь, знак при переході через його корінь не змінюється. Теорія: Дослідження функцій за допомогою похідної.
- У першому пункті критична точка $x=1$ має парну кратність у виразі похідної ($ (x-1)^2 $), тому функція продовжує зростати після цієї точки.
- У другому пункті ми виносимо за дужки спільні множники $(x+4)^3$ та $(x-3)^2$. Точка $x=3$ не є екстремумом через парний степінь відповідного множника в похідній.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.