ГДЗ до вправи 42.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Знайдемо першу похідну: $y' = 2x + 4 \sin x$.

2) Знайдемо другу похідну: $y'' = (2x + 4 \sin x)' = 2 + 4 \cos x$.

3) Критичні точки другого роду ($y'' = 0$): $2 + 4 \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$.

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дослідження знаків $y''$:

• Опукла вниз ($y'' \ge 0$), якщо $\cos x \ge -0,5$. Проміжки: $[ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n ], n \in \mathbb{Z}$.
• Опукла вгору ($y'' \le 0$), якщо $\cos x \le -0,5$. Проміжки: $[ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n ], n \in \mathbb{Z}$.

5) Точки перегину: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: вниз на $[ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n ]$, вгору на $[ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n ]$; точки перегину: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

• Диференціюємо функцію двічі, пам'ятаючи, що $(\cos x)' = -\sin x$ та $(\sin x)' = \cos x$.
• Розв'язуємо отримане тригонометричне рівняння. Значення $-0,5$ для косинуса відповідає кутам у II та III чвертях.
• Встановлюємо проміжки знакосталості $y''$. Оскільки косинус набуває значень більше за $-0,5$ навколо точки $x=0$, центральний інтервал опуклості вниз знаходиться саме там.
• Оскільки функція визначена на всій множині дійсних чисел і друга похідна в нулях змінює знак, всі отримані точки є точками перегину.