ГДЗ до вправи 43.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 43.1
Дослідіть функцію та побудуйте її графік:
1) $f(x) = 3x - x^3 - 2$;
2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5$;
3) $f(x) = 3x - \frac{x^3}{9}$;
4) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3$;
5) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$;
6) $f(x) = (x + 3)^2 (x - 1)^2$.
Розв'язок вправи № 43.1
Коротке рішення
1) $f(x) = 3x - x^3 - 2$. $f'(x) = 3 - 3x^2 = 3(1-x)(1+x)$. Екстремуми: $f(-1) = -4$ (min), $f(1) = 0$ (max).
2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5$. $f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$. Екстремуми: $f(0) = 5$ (max), $f(1) = 4$ (min).
3) $f(x) = 3x - \frac{x^3}{9}$. $f'(x) = 3 - \frac{x^2}{3} = \frac{9-x^2}{3}$. Екстремуми: $f(-3) = -6$ (min), $f(3) = 6$ (max). Нулі: $0, \pm 3\sqrt{3}$.
4) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3$. $f'(x) = 3x - 3x^2 = 3x(1-x)$. Екстремуми: $f(0) = 0$ (min), $f(1) = 0,5$ (max).
5) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2-1)^2$. $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2-1)$. Екстремуми: $f(-1) = 0$ (min), $f(0) = 1$ (max), $f(1) = 0$ (min).
6) $f(x) = (x+3)^2(x-1)^2$. $f'(x) = 4(x+3)(x-1)(x+1)$. Екстремуми: $f(-3) = 0$ (min), $f(-1) = 16$ (max), $f(1) = 0$ (min).
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Повне дослідження функції включає: 1) ОДЗ; 2) парність/непарність; 3) точки перетину з осями; 4) похідну та монотонність; 5) екстремуми; 6) другу похідну та опуклість. Теорія: Алгоритм дослідження функції.
- Для многочленів $D(f) = \mathbb{R}$.
- У 5-му та 6-му прикладах функції є парними або симетричними відносно певної осі, що полегшує побудову.
- Критичні точки знаходяться з рівняння $f'(x) = 0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.