ГДЗ до вправи 42.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 42.12
Доведіть, що функція $f(x) = \sin^2 x - 2x^2$ є опуклою вгору на $\mathbb{R}$.
Розв'язок вправи № 42.12
Коротке рішення
Для доведення опуклості вгору необхідно показати, що $f''(x) \le 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$.
1) Знайдемо першу похідну: $f'(x) = (\sin^2 x - 2x^2)' = 2\sin x \cos x - 4x = \sin 2x - 4x$.
2) Знайдемо другу похідну: $f''(x) = (\sin 2x - 4x)' = 2\cos 2x - 4$.
3) Оцінимо значення другої похідної: оскільки $-1 \le \cos 2x \le 1$, то $-2 \le 2\cos 2x \le 2$.
4) Віднімемо 4 від усіх частин нерівності: $-6 \le 2\cos 2x - 4 \le -2$.
5) Отже, $f''(x) < 0$ для будь-якого $x \in \mathbb{R}$.
6) Оскільки друга похідна завжди від’ємна, функція є опуклою вгору на $\mathbb{R}$, що й треба було довести.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Достатньою умовою опуклості функції вгору є від’ємність її другої похідної на заданому проміжку. Теорія: Зв'язок другої похідної з опуклістю графіка.
- Використовуємо формулу похідної складеної функції та формулу синуса подвійного кута для спрощення виразу першої похідної.
- Диференціюємо результат вдруге.
- Оцінюємо область значень отриманої тригонометричної функції. Оскільки максимальне значення амплітуди $2\cos 2x$ дорівнює 2, після віднімання 4 результат гарантовано залишається від’ємним.
- Це підтверджує, що графік функції не має точок перегину і завжди "спрямований" вгору.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.