ГДЗ до вправи 42.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $y = \frac{x}{1 + x^2}$.

$y' = \frac{1 \cdot (1 + x^2) - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$.

$y'' = \frac{-2x(1 + x^2)^2 - (1 - x^2) \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} = \frac{-2x - 2x^3 - 4x + 4x^3}{(1 + x^2)^3} = \frac{2x^3 - 6x}{(1 + x^2)^3} = \frac{2x(x^2 - 3)}{(1 + x^2)^3}$.

Критичні точки II роду: $x = 0; \pm\sqrt{3}$.

Опукла вгору на $(-\infty; -\sqrt{3}]$ та $[0; \sqrt{3}]$; опукла вниз на $[-\sqrt{3}; 0]$ та $[\sqrt{3}; +\infty)$.

Точки перегину: $(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{4})$, $(0; 0)$, $(\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{4})$.

2) $y = \frac{x}{(x - 1)^2}$, $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

$y' = \frac{1 \cdot (x - 1)^2 - x \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{x - 1 - 2x}{(x - 1)^3} = \frac{-x - 1}{(x - 1)^3}$.

$y'' = \frac{-1 \cdot (x - 1)^3 - (-x - 1) \cdot 3(x - 1)^2}{(x - 1)^6} = \frac{-x + 1 + 3x + 3}{(x - 1)^4} = \frac{2x + 4}{(x - 1)^4}$.

$y'' = 0 \Rightarrow x = -2$.

Опукла вгору на $(-\infty; -2]$; опукла вниз на $[-2; 1)$ та $(1; +\infty)$.

Точка перегину: $(-2; -\frac{2}{9})$.

• У прикладі 1 друга похідна містить три нулі, кожен з яких є абсцисою точки перегину, оскільки знак похідної змінюється при переході через них.
• У прикладі 2 важливо враховувати область визначення. Хоча $x = 1$ є критичною точкою знаменника, функція в ній не визначена, тому вона не може бути точкою перегину.
• Для спрощення $y''$ завжди намагайтеся скоротити спільні множники в чисельнику та знаменнику після диференціювання частки.