ГДЗ до вправи 44.74 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова: $y^2 - 3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)y + 9 = 0$

$D = (3\sqrt{2}(\cos x - \sin x))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 18(\cos x - \sin x)^2 - 36$

$D = 18(\cos^2 x - 2 \sin x \cos x + \sin^2 x) - 36 = 18(1 - \sin 2x) - 36 = 18 - 18 \sin 2x - 36 = -18(1 + \sin 2x)$

Для існування дійсних розв'язків $D \geqslant 0 \Rightarrow -18(1 + \sin 2x) \geqslant 0 \Rightarrow 1 + \sin 2x \leqslant 0$

Оскільки $\sin 2x \geqslant -1$, то $\sin 2x = -1 \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

При $D = 0 \Rightarrow y = \frac{3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)}{2}$

1) Якщо $k = 2n, n \in \mathbb{Z}$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = \frac{3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = 3$

2) Якщо $k = 2n + 1, n \in \mathbb{Z}$: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = \frac{3\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -3$

Відповідь: $(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; 3), (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; -3), n \in \mathbb{Z}$

• Під час обчислення дискримінанта ми використали формулу квадрата різниці та основну тригонометричну тотожність. Поява виразу $\sin 2x$ дозволила зв'язати тригонометричну частину з алгебраїчною умовою $D \geqslant 0$.
• Оскільки синус не може бути меншим за $-1$, єдина можливість для існування коренів — це $1 + \sin 2x = 0$. Це перетворює дискримінант на нуль, що дає єдиний корінь для $y$ при кожному $x$.
• Важливо врахувати, що при різних значеннях $k$ (парних і непарних) у загальній формулі для $x$, значення косинуса та синуса змінюють знаки, що веде до двох різних значень для $y$ ($\pm 3$).