ГДЗ до вправи 44.78 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\frac{\cos 2x}{1 + \sin 2x} = 0$

$\begin{cases} \cos 2x = 0 \\ 1 + \sin 2x \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ \sin 2x \ne -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ 2x \ne -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases}$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

---

2) $\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = 0$

$\begin{cases} \sin 2x = 0 \\ 1 + \cos 2x \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \pi k \\ \cos 2x \ne -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \pi k \\ 2x \ne \pi + 2\pi n \end{cases}$

$2x = 2\pi k \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $\pi k, k \in \mathbb{Z}$

• У першому пункті чисельник занурюється у точках $\pm \frac{\pi}{2}$ (для $2x$). Знаменник вимагає виключити точку $-\frac{\pi}{2}$, тому в розв’язку залишається лише серія точок верхнього півкола.
• У другому пункті чисельник дорівнює нулю у точках $0$ та $\pi$ (для $2x$). Знаменник забороняє точку $\pi$. Отже, розв’язками є лише парні кратні $\pi$ для аргументу $2x$, що дає цілі $\pi$ для $x$.