ГДЗ до вправи 44.76 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\frac{\sin x - \cos x}{4x - \pi} = 0$

$\begin{cases} \sin x - \cos x = 0 \\ 4x - \pi \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \operatorname{tg} x = 1 \\ x \ne \frac{\pi}{4} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ x \ne \frac{\pi}{4} \end{cases} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$

Відповідь: $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$

---

2) $\frac{\cos 2x - 2 \cos x + 1}{12x^2 - 8\pi x + \pi^2} = 0$

Чисельник: $2 \cos^2 x - 1 - 2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cos x (\cos x - 1) = 0 \Rightarrow \cos x = 0, \cos x = 1$

Знаменник: $12x^2 - 8\pi x + \pi^2 \ne 0 \Rightarrow D = 16\pi^2, x \ne \frac{8\pi \pm 4\pi}{24} \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{2}, x \ne \frac{\pi}{6}$

$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. При $k=0 \Rightarrow \frac{\pi}{2}$ (не підходить).

$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ (всі підходять).

Відповідь: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}; 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

---

3) $\frac{3 \sin^2 2\pi x + 7 \cos 2\pi x - 3}{4x^2 - 7x + 3} = 0$

Чисельник: $3(1 - \cos^2 2\pi x) + 7 \cos 2\pi x - 3 = 0 \Rightarrow \cos 2\pi x (7 - 3 \cos 2\pi x) = 0 \Rightarrow \cos 2\pi x = 0$

$2\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2} = \frac{1 + 2k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

Знаменник: $4x^2 - 7x + 3 \ne 0 \Rightarrow D = 1, x \ne 1, x \ne \frac{3}{4}$

$\frac{1 + 2k}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow 2k = 2 \Rightarrow k = 1$ (виключаємо). Значення 1 не є коренем чисельника.

Відповідь: $\frac{1 + 2k}{4}, k \in \mathbb{Z} \setminus \{1\}$

• У першому пункті рівняння $\sin x = \cos x$ зводиться до найпростішого рівняння для тангенса. Потрібно виключити точку, в якій знаменник перетворюється на нуль.
• У другому пункті після перетворення чисельника за формулою подвійного кута та розв'язання квадратного рівняння для знаменника, ми виявили, що точка $\frac{\pi}{2}$ є стороннім коренем.
• У третьому пункті аргументом функцій є $2\pi x$, що веде до числових (без $\pi$) значень коренів. Важливо ретельно перевірити, чи збігаються корені чисельника з коренями знаменника ($1$ та $0,75$).