ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 1)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть вираз, що є дробовим.
А) $x-7$; Б) $\frac{x-7}{4}$; В) $\frac{4}{x-7}$; Г) $\frac{1}{4}x^2m$.
2. Скоротіть дріб $\frac{7ax}{7xm}$.
А) $\frac{a}{m}$; Б) $\frac{a}{7m}$; В) $\frac{a}{m}$; Г) $\frac{ax}{xm}$.
3. Виконайте дію $\frac{a}{2} - \frac{5}{c}$.
А) $\frac{a-5}{2-c}$; Б) $\frac{2a-5c}{2c}$; В) $\frac{ac+10}{2c}$; Г) $\frac{ac-10}{2c}$.
4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:
1) $\frac{7}{(a-2)^2}$; 2) $\frac{2x}{x+3} + \frac{7}{x-4}$.
5. Скоротіть дріб:
1) $\frac{20ap}{25pb^3}$; 2) $\frac{15ax^2}{10xb}$; 3) $\frac{3x-6}{x^2-4}$; 4) $\frac{ab+3a}{b^2+6b+9}$.
6. Виконайте дію:
1) $\frac{5p}{p-q} + \frac{5q}{q-p}$; 2) $\frac{3m+n}{m^2n} + \frac{m-3n}{mn^2}$.
7. Спростіть вираз $\frac{2m}{m-3} + \frac{m}{m+3} + \frac{2m^2}{9-m^2}$.
8. Подайте у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу:
1) $\frac{m^2+3m^3-9}{m^2}$; 2) $\frac{x^2+x-3}{x+1}$.
9. Побудуйте графік функції $y = \frac{2x-x^2}{2x-4}$.
Детальний розв'язок
1. Укажіть вираз, що є дробовим.
Дробовим є вираз, що містить ділення на змінну. У виразі В) $\frac{4}{x-7}$ у знаменнику є змінна $x$.
Відповідь: В.
2. Скоротіть дріб.
$\frac{7ax}{7xm} = \frac{7 \cdot a \cdot x}{7 \cdot x \cdot m} = \frac{a}{m}$
Відповідь: А.
3. Виконайте дію.
Зведемо дроби до спільного знаменника $2c$:
$\frac{a}{2} - \frac{5}{c} = \frac{a \cdot c}{2c} - \frac{5 \cdot 2}{2c} = \frac{ac-10}{2c}$
Відповідь: Г.
4. Знайдіть допустимі значення змінної.
1) Знаменник не може дорівнювати нулю: $(a-2)^2 \neq 0 \implies a-2 \neq 0 \implies a \neq 2$.
2) Обидва знаменники не можуть дорівнювати нулю: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$ та $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Відповідь: 1) $a \neq 2$; 2) $x \neq -3$, $x \neq 4$.
5. Скоротіть дріб.
1) $\frac{20ap}{25pb^3} = \frac{4 \cdot 5 \cdot a \cdot p}{5 \cdot 5 \cdot p \cdot b^3} = \frac{4a}{5b^3}$
2) $\frac{15ax^2}{10xb} = \frac{3 \cdot 5 \cdot a \cdot x \cdot x}{2 \cdot 5 \cdot x \cdot b} = \frac{3ax}{2b}$
3) $\frac{3x-6}{x^2-4} = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3}{x+2}$
4) $\frac{ab+3a}{b^2+6b+9} = \frac{a(b+3)}{(b+3)^2} = \frac{a}{b+3}$
6. Виконайте дію.
1) $\frac{5p}{p-q} + \frac{5q}{q-p} = \frac{5p}{p-q} - \frac{5q}{p-q} = \frac{5p-5q}{p-q} = \frac{5(p-q)}{p-q} = 5$
2) $\frac{3m+n}{m^2n} + \frac{m-3n}{mn^2} = \frac{n(3m+n)}{m^2n^2} + \frac{m(m-3n)}{m^2n^2} = \frac{3mn+n^2+m^2-3mn}{m^2n^2} = \frac{m^2+n^2}{m^2n^2}$
7. Спростіть вираз.
$\frac{2m}{m-3} + \frac{m}{m+3} + \frac{2m^2}{9-m^2} = \frac{2m}{m-3} + \frac{m}{m+3} - \frac{2m^2}{m^2-9}$
$= \frac{2m(m+3) + m(m-3) - 2m^2}{(m-3)(m+3)} = \frac{2m^2+6m+m^2-3m-2m^2}{m^2-9} = \frac{m^2+3m}{m^2-9} = \frac{m(m+3)}{(m-3)(m+3)} = \frac{m}{m-3}$
8. Подайте у вигляді суми або різниці.
1) $\frac{m^2+3m^3-9}{m^2} = \frac{3m^3}{m^2} + \frac{m^2}{m^2} - \frac{9}{m^2} = 3m+1-\frac{9}{m^2}$
2) Виконаємо ділення куточком: $(x^2+x-3) \div (x+1)$.
$\frac{x^2+x-3}{x+1} = \frac{x(x+1)-3}{x+1} = x - \frac{3}{x+1}$
9. Побудуйте графік функції.
$y = \frac{2x-x^2}{2x-4} = \frac{-x(x-2)}{2(x-2)}$
Область визначення: $2x-4 \neq 0 \implies x \neq 2$.
При $x \neq 2$ функцію можна спростити: $y = -\frac{x}{2}$.
Це графік прямої $y = -0.5x$ з "виколотою" точкою, де $x=2$. Знайдемо координату $y$ цієї точки: $y = -2/2 = -1$.
Отже, графіком є пряма, що проходить через (0,0), з виколотою точкою (2, -1).
