ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 2)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть вираз, що є дробовим.
А) $\frac{1}{9}p^2b$; Б) $\frac{p+4}{9}$; В) $\frac{9}{p+4}$; Г) $p+4$.
2. Скоротіть дріб $\frac{5my}{5xm}$.
А) $\frac{my}{xm}$; Б) $\frac{y}{5x}$; В) $\frac{5y}{x}$; Г) $\frac{y}{x}$.
3. Виконайте дію $\frac{c}{3} - \frac{4}{n}$.
А) $\frac{cn-12}{3n}$; Б) $\frac{3c-4n}{3n}$; В) $\frac{c-4}{3-n}$; Г) $\frac{cn+12}{3n}$.
4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:
1) $\frac{5}{x(x+2)}$; 2) $\frac{3m}{m-4} + \frac{5}{m+1}$.
5. Скоротіть дріб:
1) $\frac{12cx}{16xy^3}$; 2) $\frac{20dp}{15p^2c^3}$; 3) $\frac{3b+6}{b^2-4}$; 4) $\frac{xy-2x}{y^2-4y+4}$.
6. Виконайте дію:
1) $\frac{2a}{a-b} + \frac{2b}{b-a}$; 2) $\frac{4p+c}{p^2c} + \frac{p-4c}{pc^2}$.
7. Спростіть вираз $\frac{2y}{y-4} - \frac{4}{y+4} + \frac{2y^2}{16-y^2}$.
8. Подайте у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу:
1) $\frac{a^5+5a^4-7}{a^3}$; 2) $\frac{c^2-2c-3}{c-2}$.
9. Побудуйте графік функції $y = \frac{3x-x^2}{3x-9}$.
Детальний розв'язок
1. Укажіть вираз, що є дробовим.
Дробовим є вираз, що містить ділення на змінну. У виразі В) $\frac{9}{p+4}$ у знаменнику є змінна $p$.
Відповідь: В.
2. Скоротіть дріб.
$\frac{5my}{5xm} = \frac{5 \cdot m \cdot y}{5 \cdot x \cdot m} = \frac{y}{x}$
Відповідь: Г.
3. Виконайте дію.
$\frac{c}{3} - \frac{4}{n} = \frac{c \cdot n}{3n} - \frac{4 \cdot 3}{3n} = \frac{cn-12}{3n}$
Відповідь: А.
4. Знайдіть допустимі значення змінної.
1) $x(x+2) \neq 0 \implies x \neq 0$ та $x \neq -2$.
2) $m-4 \neq 0 \implies m \neq 4$ та $m+1 \neq 0 \implies m \neq -1$.
Відповідь: 1) $x \neq 0, x \neq -2$; 2) $m \neq 4, m \neq -1$.
5. Скоротіть дріб.
1) $\frac{12cx}{16xy^3} = \frac{3 \cdot 4 \cdot c \cdot x}{4 \cdot 4 \cdot x \cdot y^3} = \frac{3c}{4y^3}$
2) $\frac{20dp}{15p^2c^3} = \frac{4 \cdot 5 \cdot d \cdot p}{3 \cdot 5 \cdot p \cdot p \cdot c^3} = \frac{4d}{3pc^3}$
3) $\frac{3b+6}{b^2-4} = \frac{3(b+2)}{(b-2)(b+2)} = \frac{3}{b-2}$
4) $\frac{xy-2x}{y^2-4y+4} = \frac{x(y-2)}{(y-2)^2} = \frac{x}{y-2}$
6. Виконайте дію.
1) $\frac{2a}{a-b} + \frac{2b}{b-a} = \frac{2a}{a-b} - \frac{2b}{a-b} = \frac{2a-2b}{a-b} = \frac{2(a-b)}{a-b} = 2$
2) $\frac{4p+c}{p^2c} + \frac{p-4c}{pc^2} = \frac{c(4p+c)}{p^2c^2} + \frac{p(p-4c)}{p^2c^2} = \frac{4pc+c^2+p^2-4pc}{p^2c^2} = \frac{p^2+c^2}{p^2c^2}$
7. Спростіть вираз.
$\frac{2y}{y-4} - \frac{4}{y+4} + \frac{2y^2}{16-y^2} = \frac{2y}{y-4} - \frac{4}{y+4} - \frac{2y^2}{y^2-16}$
$= \frac{2y(y+4) - 4(y-4) - 2y^2}{(y-4)(y+4)} = \frac{2y^2+8y-4y+16-2y^2}{y^2-16} = \frac{4y+16}{y^2-16}$
$= \frac{4(y+4)}{(y-4)(y+4)} = \frac{4}{y-4}$
8. Подайте у вигляді суми або різниці.
1) $\frac{a^5+5a^4-7}{a^3} = \frac{a^5}{a^3} + \frac{5a^4}{a^3} - \frac{7}{a^3} = a^2+5a-\frac{7}{a^3}$
2) $\frac{c^2-2c-3}{c-2} = \frac{c(c-2)-3}{c-2} = c - \frac{3}{c-2}$
9. Побудуйте графік функції.
$y = \frac{3x-x^2}{3x-9} = \frac{-x(x-3)}{3(x-3)}$
Область визначення: $3x-9 \neq 0 \implies x \neq 3$.
При $x \neq 3$ функцію можна спростити: $y = -\frac{x}{3}$.
Це графік прямої $y = (-1/3)x$ з "виколотою" точкою, де $x=3$. Знайдемо координату $y$ цієї точки: $y = -3/3 = -1$.
Отже, графіком є пряма, що проходить через (0,0), з виколотою точкою (3, -1).
