ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 4)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть вираз, що є дробовим.
А) $\frac{1}{3}m^2p$; Б) $m+5$; В) $\frac{m+5}{3}$; Г) $\frac{3}{m+5}$.
2. Скоротіть дріб $\frac{9at}{9ma}$.
А) $\frac{t}{m}$; Б) $\frac{9t}{m}$; В) $\frac{t}{9m}$; Г) $\frac{at}{ma}$.
3. Виконайте дію $\frac{3}{x} - \frac{y}{7}$.
А) $\frac{3-y}{x-7}$; Б) $\frac{21-xy}{7x}$; В) $\frac{21-xy}{7x}$; Г) $\frac{21+xy}{7x}$.
4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:
1) $\frac{2}{p(p+3)}$; 2) $\frac{2x}{x-5} + \frac{7}{x+2}$.
5. Скоротіть дріб:
1) $\frac{12am}{18mb}$; 2) $\frac{25cd}{20d^2p}$; 3) $\frac{2x+6}{x^2-9}$; 4) $\frac{pm-3p}{m^2-6m+9}$.
6. Виконайте дію:
1) $\frac{7x}{x-y} + \frac{7y}{y-x}$; 2) $\frac{5p+a}{p^2a} + \frac{p-5a}{pa^2}$.
7. Спростіть вираз $\frac{2m}{m-7} - \frac{7}{m+7} + \frac{2m^2}{49-m^2}$.
8. Подайте у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу:
1) $\frac{x^3+7x^4-2}{x^3}$; 2) $\frac{p^2-p-3}{p-1}$.
9. Побудуйте графік функції $y = \frac{x^2-5x}{25-5x}$.
Детальний розв'язок
1. Укажіть вираз, що є дробовим.
Дробовим є вираз, що містить ділення на змінну. У виразі Г) $\frac{3}{m+5}$ у знаменнику є змінна $m$.
Відповідь: Г.
2. Скоротіть дріб.
$\frac{9at}{9ma} = \frac{9 \cdot a \cdot t}{9 \cdot m \cdot a} = \frac{t}{m}$
Відповідь: А.
3. Виконайте дію.
$\frac{3}{x} - \frac{y}{7} = \frac{3 \cdot 7}{7x} - \frac{y \cdot x}{7x} = \frac{21-xy}{7x}$
Відповідь: Б.
4. Знайдіть допустимі значення змінної.
1) $p(p+3) \neq 0 \implies p \neq 0$ та $p \neq -3$.
2) $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$ та $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Відповідь: 1) $p \neq 0, p \neq -3$; 2) $x \neq 5, x \neq -2$.
5. Скоротіть дріб.
1) $\frac{12am}{18mb} = \frac{2 \cdot 6 \cdot a \cdot m}{3 \cdot 6 \cdot m \cdot b} = \frac{2a}{3b}$
2) $\frac{25cd}{20d^2p} = \frac{5 \cdot 5 \cdot c \cdot d}{4 \cdot 5 \cdot d \cdot d \cdot p} = \frac{5c}{4dp}$
3) $\frac{2x+6}{x^2-9} = \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x-3}$
4) $\frac{pm-3p}{m^2-6m+9} = \frac{p(m-3)}{(m-3)^2} = \frac{p}{m-3}$
6. Виконайте дію.
1) $\frac{7x}{x-y} + \frac{7y}{y-x} = \frac{7x}{x-y} - \frac{7y}{x-y} = \frac{7x-7y}{x-y} = \frac{7(x-y)}{x-y} = 7$
2) $\frac{5p+a}{p^2a} + \frac{p-5a}{pa^2} = \frac{a(5p+a)}{p^2a^2} + \frac{p(p-5a)}{p^2a^2} = \frac{5ap+a^2+p^2-5ap}{p^2a^2} = \frac{p^2+a^2}{p^2a^2}$
7. Спростіть вираз.
$\frac{2m}{m-7} - \frac{7}{m+7} + \frac{2m^2}{49-m^2} = \frac{2m}{m-7} - \frac{7}{m+7} - \frac{2m^2}{m^2-49}$
$= \frac{2m(m+7) - 7(m-7) - 2m^2}{(m-7)(m+7)} = \frac{2m^2+14m-7m+49-2m^2}{m^2-49} = \frac{7m+49}{m^2-49}$
$= \frac{7(m+7)}{(m-7)(m+7)} = \frac{7}{m-7}$
8. Подайте у вигляді суми або різниці.
1) $\frac{x^3+7x^4-2}{x^3} = \frac{7x^4}{x^3} + \frac{x^3}{x^3} - \frac{2}{x^3} = 7x+1-\frac{2}{x^3}$
2) $\frac{p^2-p-3}{p-1} = \frac{p(p-1)-3}{p-1} = p - \frac{3}{p-1}$
9. Побудуйте графік функції.
$y = \frac{x^2-5x}{25-5x} = \frac{x(x-5)}{-5(x-5)}$
Область визначення: $25-5x \neq 0 \implies x \neq 5$.
При $x \neq 5$ функцію можна спростити: $y = -\frac{x}{5}$.
Це графік прямої $y = -0.2x$ з "виколотою" точкою, де $x=5$. Знайдемо координату $y$ цієї точки: $y = -5/5 = -1$.
Отже, графіком є пряма, що проходить через (0,0), з виколотою точкою (5, -1).
