ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 3)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть вираз, що є дробовим.
А) $\frac{7}{x-2}$; Б) $\frac{x-2}{7}$; В) $x-2$; Г) $\frac{1}{7}x^2y$.
2. Скоротіть дріб $\frac{4by}{4yt}$.
А) $\frac{4b}{t}$; Б) $\frac{b}{4t}$; В) $\frac{b}{t}$; Г) $\frac{by}{yt}$.
3. Виконайте дію $\frac{4}{x} - \frac{m}{5}$.
А) $\frac{4x-5m}{5x}$; Б) $\frac{20-xm}{5x}$; В) $\frac{4-m}{x-5}$; Г) $\frac{20+xm}{5x}$.
4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:
1) $\frac{9}{b(b-3)}$; 2) $\frac{3n}{n+1} + \frac{7}{n-3}$.
5. Скоротіть дріб:
1) $\frac{15ck}{20kd^3}$; 2) $\frac{16by^2}{12yc}$; 3) $\frac{2c-6}{c^2-9}$; 4) $\frac{xb+2x}{b^2+4b+4}$.
6. Виконайте дію:
1) $\frac{3m}{m-n} + \frac{3n}{n-m}$; 2) $\frac{2x+y}{x^2y} + \frac{x-2y}{xy^2}$.
7. Спростіть вираз $\frac{2x}{x-5} + \frac{x}{x+5} + \frac{2x^2}{25-x^2}$.
8. Подайте у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу:
1) $\frac{p^2+2p^3-11}{p^2}$; 2) $\frac{t^2-t-5}{t-1}$.
9. Побудуйте графік функції $y = \frac{4x-x^2}{2x-8}$.
Детальний розв'язок
1. Укажіть вираз, що є дробовим.
Дробовим є вираз, що містить ділення на змінну. У виразі А) $\frac{7}{x-2}$ у знаменнику є змінна $x$.
Відповідь: А.
2. Скоротіть дріб.
$\frac{4by}{4yt} = \frac{4 \cdot b \cdot y}{4 \cdot y \cdot t} = \frac{b}{t}$
Відповідь: В.
3. Виконайте дію.
$\frac{4}{x} - \frac{m}{5} = \frac{4 \cdot 5}{5x} - \frac{m \cdot x}{5x} = \frac{20-xm}{5x}$
Відповідь: Б.
4. Знайдіть допустимі значення змінної.
1) $b(b-3) \neq 0 \implies b \neq 0$ та $b \neq 3$.
2) $n+1 \neq 0 \implies n \neq -1$ та $n-3 \neq 0 \implies n \neq 3$.
Відповідь: 1) $b \neq 0, b \neq 3$; 2) $n \neq -1, n \neq 3$.
5. Скоротіть дріб.
1) $\frac{15ck}{20kd^3} = \frac{3 \cdot 5 \cdot c \cdot k}{4 \cdot 5 \cdot k \cdot d^3} = \frac{3c}{4d^3}$
2) $\frac{16by^2}{12yc} = \frac{4 \cdot 4 \cdot b \cdot y \cdot y}{3 \cdot 4 \cdot y \cdot c} = \frac{4by}{3c}$
3) $\frac{2c-6}{c^2-9} = \frac{2(c-3)}{(c-3)(c+3)} = \frac{2}{c+3}$
4) $\frac{xb+2x}{b^2+4b+4} = \frac{x(b+2)}{(b+2)^2} = \frac{x}{b+2}$
6. Виконайте дію.
1) $\frac{3m}{m-n} + \frac{3n}{n-m} = \frac{3m}{m-n} - \frac{3n}{m-n} = \frac{3m-3n}{m-n} = \frac{3(m-n)}{m-n} = 3$
2) $\frac{2x+y}{x^2y} + \frac{x-2y}{xy^2} = \frac{y(2x+y)}{x^2y^2} + \frac{x(x-2y)}{x^2y^2} = \frac{2xy+y^2+x^2-2xy}{x^2y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}$
7. Спростіть вираз.
$\frac{2x}{x-5} + \frac{x}{x+5} + \frac{2x^2}{25-x^2} = \frac{2x}{x-5} + \frac{x}{x+5} - \frac{2x^2}{x^2-25}$
$= \frac{2x(x+5) + x(x-5) - 2x^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{2x^2+10x+x^2-5x-2x^2}{x^2-25} = \frac{x^2+5x}{x^2-25}$
$= \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x}{x-5}$
8. Подайте у вигляді суми або різниці.
1) $\frac{p^2+2p^3-11}{p^2} = \frac{2p^3}{p^2} + \frac{p^2}{p^2} - \frac{11}{p^2} = 2p+1-\frac{11}{p^2}$
2) $\frac{t^2-t-5}{t-1} = \frac{t(t-1)-5}{t-1} = t - \frac{5}{t-1}$
9. Побудуйте графік функції.
$y = \frac{4x-x^2}{2x-8} = \frac{-x(x-4)}{2(x-4)}$
Область визначення: $2x-8 \neq 0 \implies x \neq 4$.
При $x \neq 4$ функцію можна спростити: $y = -\frac{x}{2}$.
Це графік прямої $y = -0.5x$ з "виколотою" точкою, де $x=4$. Знайдемо координату $y$ цієї точки: $y = -4/2 = -2$.
Отже, графіком є пряма, що проходить через (0,0), з виколотою точкою (4, -2).
