ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №2 (Варіант 1)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. $\frac{15}{m^2} \cdot \frac{m}{5} = ...$
2. $\frac{a}{5} : \frac{a}{4} = ...$
3. Укажіть рівняння, коренем якого є число 2.
4. Виконайте дії: 1) $\frac{3m^3}{20p^2} \cdot \frac{5p}{6m^3}$; 2) $\frac{m^2-mn}{c^2} : \frac{cd}{m^2-2mn+n^2}$; 3) $\frac{4p^2}{7t^3} \cdot \frac{8p^3}{21t}$; 4) $\frac{p^2-25}{3p-6} : \frac{2p+10}{5p-10}$.
5. Виконайте піднесення до степеня: 1) $(-\frac{2p^2}{m^3})^3$; 2) $(\frac{x^2y}{z^3})^8$.
6. Розв'яжіть рівняння: 1) $\frac{3x+15}{x-3}=0$; 2) $\frac{2x^2-12}{x+3}=2x$.
7. Спростіть вираз $(\frac{3b+1}{3b-1} - \frac{3b-1}{3b+1}) : \frac{6b^2}{9b^2-1}$.
8. Доведіть тотожність $(\frac{5}{x+5} + \frac{x^2+25}{x^2-25} - \frac{5}{5-x}) \cdot \frac{x-5}{x^2+10x+25} = \frac{1}{x+5}$.
9. Відомо, що $x + \frac{1}{x} = 6$. Знайдіть значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$.
Детальний розв'язок
1. $\frac{15}{m^2} \cdot \frac{m}{5} = \frac{15m}{5m^2} = \frac{3}{m}$. (Відповідь В)
2. $\frac{a}{5} : \frac{a}{4} = \frac{a}{5} \cdot \frac{4}{a} = \frac{4}{5}$. (Відповідь Б)
3. Рівняння $\frac{x-2}{x} = 0$. Чисельник $x-2=0 \implies x=2$. Знаменник $x \neq 0$. Корінь $x=2$ підходить. (Відповідь Г)
4.
1) $\frac{3m^3 \cdot 5p}{20p^2 \cdot 6m^3} = \frac{15m^3p}{120m^3p^2} = \frac{1}{8p}$.
2) $\frac{m(m-n)}{c^2} \cdot \frac{(m-n)^2}{cd} = \frac{m(m-n)^3}{c^3d}$.
3) $\frac{4p^2 \cdot 8p^3}{7t^3 \cdot 21t} = \frac{32p^5}{147t^4}$.
4) $\frac{(p-5)(p+5)}{3(p-2)} \cdot \frac{5(p-2)}{2(p+5)} = \frac{5(p-5)}{6}$.
5.
1) $(-\frac{2p^2}{m^3})^3 = -\frac{2^3(p^2)^3}{(m^3)^3} = -\frac{8p^6}{m^9}$.
2) $(\frac{x^2y}{z^3})^8 = \frac{(x^2)^8y^8}{(z^3)^8} = \frac{x^{16}y^8}{z^{24}}$.
6.
1) $3x+15=0 \implies 3x=-15 \implies x=-5$. ОДЗ: $x \neq 3$. Відповідь: -5.
2) ОДЗ: $x \neq -3$. $2x^2-12 = 2x(x+3) \implies 2x^2-12 = 2x^2+6x \implies -12=6x \implies x=-2$. Відповідь: -2.
7. У дужках: $\frac{(3b+1)^2 - (3b-1)^2}{(3b-1)(3b+1)} = \frac{(9b^2+6b+1) - (9b^2-6b+1)}{9b^2-1} = \frac{12b}{9b^2-1}$.
Ділення: $\frac{12b}{9b^2-1} \cdot \frac{9b^2-1}{6b^2} = \frac{12b}{6b^2} = \frac{2}{b}$.
8. У дужках: $\frac{5}{x+5} + \frac{x^2+25}{(x-5)(x+5)} + \frac{5}{x-5} = \frac{5(x-5) + x^2+25 + 5(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{5x-25+x^2+25+5x+25}{(x-5)(x+5)} = \frac{x^2+10x+25}{(x-5)(x+5)} = \frac{(x+5)^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{x+5}{x-5}$.
Множення: $\frac{x+5}{x-5} \cdot \frac{x-5}{(x+5)^2} = \frac{1}{x+5}$. Тотожність доведено.
9. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності $x + \frac{1}{x} = 6$:
$(x + \frac{1}{x})^2 = 6^2 \implies x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 36 \implies x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 36 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 34$.
