ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №2 (Варіант 3)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. $\frac{12}{b^2} \cdot \frac{b}{4} = ...$
2. $\frac{p}{2} : \frac{p}{3} = ...$
3. Укажіть рівняння, коренем якого є число 3.
4. Виконайте дії: 1) $\frac{2p^2}{25c^2} \cdot \frac{5c}{6p^2}$; 2) $\frac{a^2-2ab+b^2}{cd} : \frac{ba-b^2}{d^2}$; 3) $\frac{3m^2}{7p^3} : \frac{9m^3}{35p}$; 4) $\frac{n^2-9}{3n-12} : \frac{2n+6}{5n-20}$.
5. Виконайте піднесення до степеня: 1) $(-\frac{c^3}{2p^2})^3$; 2) $(\frac{x^3}{c^2p})^6$.
6. Розв'яжіть рівняння: 1) $\frac{2x+10}{x-4}=0$; 2) $\frac{5x^2+15}{x-1}=5x$.
7. Спростіть вираз $(\frac{4m+1}{4m-1} - \frac{4m-1}{4m+1}) : \frac{2m^2}{16m^2-1}$.
8. Доведіть тотожність $(\frac{3}{x+3} + \frac{x^2+9}{x^2-9} - \frac{3}{3-x}) \cdot \frac{x-3}{x^2+6x+9} = \frac{1}{x+3}$.
9. Відомо, що $x + \frac{1}{x} = 5$. Знайдіть значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$.
Детальний розв'язок
1. $\frac{12b}{4b^2} = \frac{3}{b}$. (Відповідь А)
2. $\frac{p}{2} \cdot \frac{3}{p} = \frac{3}{2}$. (Відповідь В)
3. Рівняння $\frac{x-3}{x} = 0$. Чисельник $x-3=0 \implies x=3$. Знаменник $x \neq 0$. Корінь $x=3$ підходить. (Відповідь Б)
4.
1) $\frac{2p^2 \cdot 5c}{25c^2 \cdot 6p^2} = \frac{10cp^2}{150c^2p^2} = \frac{1}{15c}$.
2) $\frac{(a-b)^2}{cd} \cdot \frac{d^2}{b(a-b)} = \frac{d(a-b)}{cb}$.
3) $\frac{3m^2}{7p^3} \cdot \frac{35p}{9m^3} = \frac{105m^2p}{63m^3p^3} = \frac{5}{3mp^2}$.
4) $\frac{(n-3)(n+3)}{3(n-4)} \cdot \frac{5(n-4)}{2(n+3)} = \frac{5(n-3)}{6}$.
5.
1) $(-\frac{c^3}{2p^2})^3 = -\frac{(c^3)^3}{2^3(p^2)^3} = -\frac{c^9}{8p^6}$.
2) $(\frac{x^3}{c^2p})^6 = \frac{(x^3)^6}{(c^2)^6p^6} = \frac{x^{18}}{c^{12}p^6}$.
6.
1) $2x+10=0 \implies 2x=-10 \implies x=-5$. ОДЗ: $x \neq 4$. Відповідь: -5.
2) ОДЗ: $x \neq 1$. $5x^2+15 = 5x(x-1) \implies 5x^2+15 = 5x^2-5x \implies 15=-5x \implies x=-3$. Відповідь: -3.
7. У дужках: $\frac{(4m+1)^2 - (4m-1)^2}{(4m-1)(4m+1)} = \frac{(16m^2+8m+1) - (16m^2-8m+1)}{16m^2-1} = \frac{16m}{16m^2-1}$.
Ділення: $\frac{16m}{16m^2-1} \cdot \frac{16m^2-1}{2m^2} = \frac{16m}{2m^2} = \frac{8}{m}$.
8. У дужках: $\frac{3}{x+3} + \frac{x^2+9}{x^2-9} + \frac{3}{x-3} = \frac{3(x-3) + x^2+9 + 3(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{3x-9+x^2+9+3x+9}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2+6x+9}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3}{x-3}$.
Множення: $\frac{x+3}{x-3} \cdot \frac{x-3}{(x+3)^2} = \frac{1}{x+3}$. Тотожність доведено.
9. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності $x + \frac{1}{x} = 5$:
$(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2 \implies x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 25 \implies x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$.
