ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №2 (Варіант 2)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. $\frac{12}{c^2} : \frac{c}{3} = ...$
2. $\frac{n}{3} \cdot \frac{n}{4} = ...$
3. Укажіть рівняння, коренем якого є число 5.
4. Виконайте дії: 1) $\frac{2p^2}{15c^2} \cdot \frac{3c}{8p^2}$; 2) $\frac{a^2+ab}{t^2} : \frac{tp}{a^2+2ab+b^2}$; 3) $\frac{2a^2}{9b^3} \cdot \frac{8a^3}{27b}$; 4) $\frac{b^2-16}{3b+6} : \frac{2b+8}{5b+10}$.
5. Виконайте піднесення до степеня: 1) $(-\frac{3c^5}{m^2})^3$; 2) $(\frac{c^3p}{d^4})^6$.
6. Розв'яжіть рівняння: 1) $\frac{2x+8}{x-5}=0$; 2) $\frac{3x^2-12}{x+4}=3x$.
7. Спростіть вираз $(\frac{3x+2}{3x-2} - \frac{3x-2}{3x+2}) : \frac{3x^2}{9x^2-4}$.
8. Доведіть тотожність $(\frac{5}{y+5} - \frac{5}{5-y} + \frac{y^2+25}{y^2-25}) \cdot \frac{y+5}{y^2+10y+25} = \frac{1}{y-5}$.
9. Відомо, що $x - \frac{1}{x} = 2$. Знайдіть значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$.
Детальний розв'язок
1. $\frac{12}{c^2} \cdot \frac{3}{c} = \frac{36}{c^3}$. (Відповідь В)
2. $\frac{n \cdot n}{3 \cdot 4} = \frac{n^2}{12}$. (Відповідь А)
3. Рівняння $\frac{x-5}{x} = 0$. Чисельник $x-5=0 \implies x=5$. Знаменник $x \neq 0$. Корінь $x=5$ підходить. (Відповідь Б)
4.
1) $\frac{2p^2 \cdot 3c}{15c^2 \cdot 8p^2} = \frac{6cp^2}{120c^2p^2} = \frac{1}{20c}$.
2) $\frac{a(a+b)}{t^2} \cdot \frac{(a+b)^2}{tp} = \frac{a(a+b)^3}{t^3p}$.
3) $\frac{2a^2 \cdot 8a^3}{9b^3 \cdot 27b} = \frac{16a^5}{243b^4}$.
4) $\frac{(b-4)(b+4)}{3(b+2)} \cdot \frac{5(b+2)}{2(b+4)} = \frac{5(b-4)}{6}$.
5.
1) $(-\frac{3c^5}{m^2})^3 = -\frac{3^3(c^5)^3}{(m^2)^3} = -\frac{27c^{15}}{m^6}$.
2) $(\frac{c^3p}{d^4})^6 = \frac{(c^3)^6p^6}{(d^4)^6} = \frac{c^{18}p^6}{d^{24}}$.
6.
1) $2x+8=0 \implies 2x=-8 \implies x=-4$. ОДЗ: $x \neq 5$. Відповідь: -4.
2) ОДЗ: $x \neq -4$. $3x^2-12 = 3x(x+4) \implies 3x^2-12 = 3x^2+12x \implies -12=12x \implies x=-1$. Відповідь: -1.
7. У дужках: $\frac{(3x+2)^2 - (3x-2)^2}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{(9x^2+12x+4) - (9x^2-12x+4)}{9x^2-4} = \frac{24x}{9x^2-4}$.
Ділення: $\frac{24x}{9x^2-4} \cdot \frac{9x^2-4}{3x^2} = \frac{24x}{3x^2} = \frac{8}{x}$.
8. У дужках: $\frac{5}{y+5} + \frac{5}{y-5} + \frac{y^2+25}{y^2-25} = \frac{5(y-5) + 5(y+5) + y^2+25}{(y-5)(y+5)} = \frac{5y-25+5y+25+y^2+25}{(y-5)(y+5)} = \frac{y^2+10y+25}{(y-5)(y+5)} = \frac{(y+5)^2}{(y-5)(y+5)} = \frac{y+5}{y-5}$.
Множення: $\frac{y+5}{y-5} \cdot \frac{y+5}{(y+5)^2} = \frac{1}{y-5}$. Тотожність доведено.
9. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності $x - \frac{1}{x} = 2$:
$(x - \frac{1}{x})^2 = 2^2 \implies x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 4 \implies x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 4 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$.
