ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №2 (Варіант 4)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. $\frac{t}{4} \cdot \frac{16}{t^2} = ...$
2. $\frac{a}{7} : \frac{a}{5} = ...$
3. Укажіть рівняння, коренем якого є число 4.
4. Виконайте дії: 1) $\frac{3c^4}{20p^2} \cdot (-\frac{5p}{12c^4})$; 2) $\frac{x^2+2xy+y^2}{mn} : \frac{xy+y^2}{m^2}$; 3) $\frac{4p^2}{9c^3} : (-\frac{8p^3}{27c})$; 4) $\frac{c^2-4}{4c+12} : \frac{3c+6}{5c+15}$.
5. Виконайте піднесення до степеня: 1) $(-\frac{p^2}{3a^3})^3$; 2) $(\frac{mt^3}{a^2})^8$.
6. Розв'яжіть рівняння: 1) $\frac{3x+6}{x-4}=0$; 2) $\frac{2x^2+8}{x-1}=2x$.
7. Спростіть вираз $(\frac{2x+3}{2x-3} - \frac{2x-3}{2x+3}) : \frac{3x^2}{4x^2-9}$.
8. Доведіть тотожність $(\frac{3}{y+3} + \frac{y^2+9}{y^2-9} - \frac{3}{3-y}) \cdot \frac{y+3}{y^2+6y+9} = \frac{1}{y-3}$.
9. Відомо, що $x - \frac{1}{x} = 4$. Знайдіть значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$.
Детальний розв'язок
1. $\frac{16t}{4t^2} = \frac{4}{t}$. (Відповідь Г)
2. $\frac{a}{7} \cdot \frac{5}{a} = \frac{5}{7}$. (Відповідь Б)
3. Рівняння $\frac{x-4}{x} = 0$. Чисельник $x-4=0 \implies x=4$. Знаменник $x \neq 0$. Корінь $x=4$ підходить. (Відповідь В)
4.
1) $-\frac{3c^4 \cdot 5p}{20p^2 \cdot 12c^4} = -\frac{15c^4p}{240c^4p^2} = -\frac{1}{16p}$.
2) $\frac{(x+y)^2}{mn} \cdot \frac{m^2}{y(x+y)} = \frac{m(x+y)}{ny}$.
3) $-\frac{4p^2}{9c^3} \cdot \frac{27c}{8p^3} = -\frac{108cp^2}{72c^3p^3} = -\frac{3}{2c^2p}$.
4) $\frac{(c-2)(c+2)}{4(c+3)} \cdot \frac{5(c+3)}{3(c+2)} = \frac{5(c-2)}{12}$.
5.
1) $(-\frac{p^2}{3a^3})^3 = -\frac{(p^2)^3}{3^3(a^3)^3} = -\frac{p^6}{27a^9}$.
2) $(\frac{mt^3}{a^2})^8 = \frac{m^8(t^3)^8}{(a^2)^8} = \frac{m^8t^{24}}{a^{16}}$.
6.
1) $3x+6=0 \implies 3x=-6 \implies x=-2$. ОДЗ: $x \neq 4$. Відповідь: -2.
2) ОДЗ: $x \neq 1$. $2x^2+8 = 2x(x-1) \implies 2x^2+8 = 2x^2-2x \implies 8=-2x \implies x=-4$. Відповідь: -4.
7. У дужках: $\frac{(2x+3)^2 - (2x-3)^2}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{(4x^2+12x+9) - (4x^2-12x+9)}{4x^2-9} = \frac{24x}{4x^2-9}$.
Ділення: $\frac{24x}{4x^2-9} \cdot \frac{4x^2-9}{3x^2} = \frac{24x}{3x^2} = \frac{8}{x}$.
8. У дужках: $\frac{3}{y+3} + \frac{y^2+9}{(y-3)(y+3)} + \frac{3}{y-3} = \frac{3(y-3)+y^2+9+3(y+3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{3y-9+y^2+9+3y+9}{(y-3)(y+3)} = \frac{y^2+6y+9}{(y-3)(y+3)} = \frac{(y+3)^2}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{y-3}$.
Множення: $\frac{y+3}{y-3} \cdot \frac{y+3}{(y+3)^2} = \frac{1}{y-3}$. Тотожність доведено.
9. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності $x - \frac{1}{x} = 4$:
$(x - \frac{1}{x})^2 = 4^2 \implies x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 16 \implies x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 16 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$.
