ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №3 (Варіант 1)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. $a^8 : a^{-2} = ...$
А. $a^{-4}$ Б. $a^6$ В. $a^{10}$ Г. $a^{-16}$
2. Укажіть число $17,9 \cdot 10^3$, записане у стандартному вигляді.
А. $17,9 \cdot 10^3$ Б. $1,79 \cdot 10^3$ В. $1,79 \cdot 10^3$ Г. $0,179 \cdot 10^3$
3. Укажіть функцію, що є оберненою пропорційністю.
А. $y = -\frac{6}{x^2}$ Б. $y=-6x$ В. $y = -\frac{x}{6}$ Г. $y = -\frac{6}{x}$
4. Обчисліть:
1) $3^{-2}$; 2) $(-7)^{-1}$; 3) $(\frac{1}{2})^{-3}$; 4) $(2,1 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^{-7})$.
5. Спростіть вираз:
1) $-3m^{-3}n^8 \cdot \frac{1}{3}m^{-5}n^{-4}$; 2) $(-\frac{3}{4}a^5b) \cdot (-\frac{8}{15}a^{-7}b^{-1})$.
6. Подайте число у стандартному вигляді:
1) $32 000$; 2) $0,5$; 3) $297,3$; 4) $0,0207$.
7. Подайте у вигляді виразу, який не містить степеня з від'ємним показником:
1) $(3,5a^3b^{-7}) : (0,5a^{-4}b^{-2})$; 2) $(\frac{3a^4}{5b^7})^{-2} \cdot 9a^8b^{-17}$.
8. Побудуйте графік функції $y=\frac{8}{x}$. Користуючись графіком, знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює -2; 4;
2) значення аргументу, за яких функція дорівнює -1; 8;
3) значення аргументу, за яких функція набуває від'ємних значень; додатних значень.
9. Скоротіть дріб:
1) $\frac{45}{4^{n+2}-4^n}$; 2) $\frac{x^{-2}+x^3}{x^6+x}$.
Короткий розв'язок
1. В. $a^{10}$.
2. $1,79 \cdot 10^4$. (В умові, ймовірно, помилка).
3. Г. $y = -\frac{6}{x}$.
4. 1) $\frac{1}{9}$; 2) $-\frac{1}{7}$; 3) $8$; 4) $6,3 \cdot 10^{-2}$.
5. 1) $-m^{-8}n^4$; 2) $0,4a^{-2}$.
6. 1) $3,2 \cdot 10^4$; 2) $5 \cdot 10^{-1}$; 3) $2,973 \cdot 10^2$; 4) $2,07 \cdot 10^{-2}$.
7. 1) $\frac{7a^7}{b^5}$; 2) $\frac{25}{b^3}$.
8. 1) $y(-2)=-4, y(4)=2$; 2) $x=-8, x=1$; 3) $y<0$ при $x<0$, $y>0$ при $x>0$.
9. 1) $3 \cdot 4^{-n}$; 2) $\frac{1}{x^3}$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості степеня з цілим показником, визначення стандартного вигляду числа та властивості функції $y = k/x$.
1. $a^8 : a^{-2} = a^{8 - (-2)} = a^{8+2} = a^{10}$.
Відповідь: В.
2. Стандартний вигляд числа - це запис у вигляді $a \cdot 10^n$, де $1 \le a < 10$. $17,9 \cdot 10^3 = (1,79 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 1,79 \cdot 10^4$. У варіантах відповіді правильного запису немає, що свідчить про помилку в умові. Найближчий варіант, записаний у стандартній формі, - це Б.
3. Обернена пропорційність - це функція виду $y = \frac{k}{x}$, де $k \neq 0$. Цьому визначенню відповідає функція $y = -\frac{6}{x}$.
Відповідь: Г.
4. 1) $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
2) $(-7)^{-1} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$.
3) $(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$.
4) $(2,1 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^{-7}) = (2,1 \cdot 3) \cdot 10^{5-7} = 6,3 \cdot 10^{-2}$.
5. 1) $-3m^{-3}n^8 \cdot \frac{1}{3}m^{-5}n^{-4} = (-3 \cdot \frac{1}{3}) \cdot m^{-3-5} \cdot n^{8-4} = -1 \cdot m^{-8}n^4 = -m^{-8}n^4$.
2) $(-\frac{3}{4}a^5b) \cdot (-\frac{8}{15}a^{-7}b^{-1}) = (\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 15}) \cdot a^{5-7} \cdot b^{1-1} = \frac{2}{5}a^{-2}b^0 = 0,4a^{-2}$.
6. 1) $32 000 = 3,2 \cdot 10^4$.
2) $0,5 = 5 \cdot 10^{-1}$.
3) $297,3 = 2,973 \cdot 10^2$.
4) $0,0207 = 2,07 \cdot 10^{-2}$.
7. 1) $(3,5a^3b^{-7}) : (0,5a^{-4}b^{-2}) = \frac{3,5}{0,5}a^{3-(-4)}b^{-7-(-2)} = 7a^7b^{-5} = \frac{7a^7}{b^5}$.
2) $(\frac{3a^4}{5b^7})^{-2} \cdot 9a^8b^{-17} = (\frac{5b^7}{3a^4})^2 \cdot 9a^8b^{-17} = \frac{25b^{14}}{9a^8} \cdot 9a^8b^{-17} = 25b^{14-17} = 25b^{-3} = \frac{25}{b^3}$.
8. Будуємо графік функції $y = \frac{8}{x}$. Це гіпербола у І та ІІІ чвертях.
1) Якщо $x=-2$, $y=\frac{8}{-2}=-4$. Якщо $x=4$, $y=\frac{8}{4}=2$.
2) Якщо $y=-1$, то $-1=\frac{8}{x}$, звідки $x=-8$. Якщо $y=8$, то $8=\frac{8}{x}$, звідки $x=1$.
3) Функція набуває від'ємних значень ($y<0$), коли $x<0$. Функція набуває додатних значень ($y>0$), коли $x>0$.
9. 1) $\frac{45}{4^{n+2}-4^n} = \frac{45}{4^n \cdot 4^2 - 4^n} = \frac{45}{4^n(16-1)} = \frac{45}{15 \cdot 4^n} = \frac{3}{4^n} = 3 \cdot 4^{-n}$.
2) $\frac{x^{-2}+x^3}{x^6+x} = \frac{\frac{1}{x^2}+x^3}{x(x^5+1)} = \frac{\frac{1+x^5}{x^2}}{x(x^5+1)} = \frac{1+x^5}{x^2} \cdot \frac{1}{x(x^5+1)} = \frac{1}{x^3}$.
