ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №3 (Варіант 3)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. $a^{12} : a^{-3} = ...$
А. $a^4$ Б. $a^{15}$ В. $a^9$ Г. $a^{-36}$
2. Укажіть число, записане у стандартному вигляді.
А. $5,42 \cdot 10^7$ Б. $0,542 \cdot 10^7$ В. $5,42 \cdot 9^7$ Г. $54,2 \cdot 10^7$
3. Укажіть функцію, що є оберненою пропорційністю.
А. $y = -10x$ Б. $y=-\frac{10}{x^2}$ В. $y = -\frac{10}{x}$ Г. $y = -\frac{x}{10}$
4. Обчисліть:
1) $7^{-2}$; 2) $(-2)^{-1}$; 3) $(\frac{2}{3})^{-2}$; 4) $(3,2 \cdot 10^7) \cdot (2 \cdot 10^{-9})$.
5. Спростіть вираз:
1) $-4a^{-2}b^6 \cdot \frac{1}{4}a^{-3}b^{-2}$; 2) $(-\frac{2}{3}n^6m) \cdot (-\frac{9}{10}n^{-8}m^{-1})$.
6. Подайте число у стандартному вигляді:
1) $42 000$; 2) $0,3$; 3) $152,7$; 4) $0,0109$.
7. Подайте у вигляді виразу, який не містить степеня з від'ємним показником:
1) $(2,8p^2a^{-4}) : (0,7p^{-5}a^{-2})$; 2) $(\frac{3a^3}{4b^2})^{-3} \cdot 27a^9b^{-10}$.
8. Побудуйте графік функції $y=\frac{6}{x}$. Користуючись графіком, знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює -3; 6;
2) значення аргументу, за яких функція дорівнює -1; 2;
3) значення аргументу, за яких функція набуває від'ємних значень; додатних значень.
9. Скоротіть дріб:
1) $\frac{40}{3^{n+2}+3^n}$; 2) $\frac{y^{-2}+y^4}{y^7+y}$.
Короткий розв'язок
1. Б. $a^{15}$.
2. А. $5,42 \cdot 10^7$.
3. В. $y = -\frac{10}{x}$.
4. 1) $\frac{1}{49}$; 2) $-\frac{1}{2}$; 3) $\frac{9}{4}$; 4) $6,4 \cdot 10^{-2}$.
5. 1) $-a^{-5}b^4$; 2) $0,6n^{-2}$.
6. 1) $4,2 \cdot 10^4$; 2) $3 \cdot 10^{-1}$; 3) $1,527 \cdot 10^2$; 4) $1,09 \cdot 10^{-2}$.
7. 1) $\frac{4p^7}{a^2}$; 2) $\frac{64}{b^4}$.
8. 1) $y(-3)=-2, y(6)=1$; 2) $x=-6, x=3$; 3) $y<0$ при $x<0$, $y>0$ при $x>0$.
9. 1) $4 \cdot 3^{-n}$; 2) $\frac{1}{y^3}$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості степеня з цілим показником, визначення стандартного вигляду числа та властивості функції $y = k/x$.
1. $a^{12} : a^{-3} = a^{12 - (-3)} = a^{12+3} = a^{15}$.
Відповідь: Б.
2. Стандартний вигляд числа - це запис у вигляді $a \cdot 10^n$, де $1 \le a < 10$. Число $5,42 \cdot 10^7$ вже записане у стандартному вигляді.
Відповідь: А.
3. Обернена пропорційність - це функція виду $y = \frac{k}{x}$, де $k \neq 0$. Цьому визначенню відповідає функція $y = -\frac{10}{x}$.
Відповідь: В.
4. 1) $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
2) $(-2)^{-1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.
3) $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
4) $(3,2 \cdot 10^7) \cdot (2 \cdot 10^{-9}) = (3,2 \cdot 2) \cdot 10^{7-9} = 6,4 \cdot 10^{-2}$.
5. 1) $-4a^{-2}b^6 \cdot \frac{1}{4}a^{-3}b^{-2} = (-4 \cdot \frac{1}{4}) \cdot a^{-2-3} \cdot b^{6-2} = -1 \cdot a^{-5}b^4 = -a^{-5}b^4$.
2) $(-\frac{2}{3}n^6m) \cdot (-\frac{9}{10}n^{-8}m^{-1}) = (\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10}) \cdot n^{6-8} \cdot m^{1-1} = \frac{3}{5}n^{-2}m^0 = 0,6n^{-2}$.
6. 1) $42 000 = 4,2 \cdot 10^4$.
2) $0,3 = 3 \cdot 10^{-1}$.
3) $152,7 = 1,527 \cdot 10^2$.
4) $0,0109 = 1,09 \cdot 10^{-2}$.
7. 1) $(2,8p^2a^{-4}) : (0,7p^{-5}a^{-2}) = \frac{2,8}{0,7}p^{2-(-5)}a^{-4-(-2)} = 4p^7a^{-2} = \frac{4p^7}{a^2}$.
2) $(\frac{3a^3}{4b^2})^{-3} \cdot 27a^9b^{-10} = (\frac{4b^2}{3a^3})^3 \cdot 27a^9b^{-10} = \frac{64b^6}{27a^9} \cdot 27a^9b^{-10} = 64b^{6-10} = 64b^{-4} = \frac{64}{b^4}$.
8. Будуємо графік функції $y = \frac{6}{x}$. Це гіпербола у І та ІІІ чвертях.
1) Якщо $x=-3$, $y=\frac{6}{-3}=-2$. Якщо $x=6$, $y=\frac{6}{6}=1$.
2) Якщо $y=-1$, то $-1=\frac{6}{x}$, звідки $x=-6$. Якщо $y=2$, то $2=\frac{6}{x}$, звідки $x=3$.
3) Функція набуває від'ємних значень ($y<0$), коли $x<0$. Функція набуває додатних значень ($y>0$), коли $x>0$.
9. 1) $\frac{40}{3^{n+2}+3^n} = \frac{40}{3^n \cdot 3^2 + 3^n} = \frac{40}{3^n(9+1)} = \frac{40}{10 \cdot 3^n} = \frac{4}{3^n} = 4 \cdot 3^{-n}$.
2) $\frac{y^{-2}+y^4}{y^7+y} = \frac{\frac{1}{y^2}+y^4}{y(y^6+1)} = \frac{\frac{1+y^6}{y^2}}{y(y^6+1)} = \frac{1+y^6}{y^2} \cdot \frac{1}{y(y^6+1)} = \frac{1}{y^3}$.
