ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №3 (Варіант 4)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

1. $a^{12} : a^{-4} = ...$
А. $a^{-3}$ Б. $a^8$ В. $a^{-18}$ Г. $a^{16}$

2. Укажіть число, записане у стандартному вигляді.
А. $6,73 \cdot 7^4$ Б. $6,73 \cdot 10^4$ В. $0,673 \cdot 10^4$ Г. $67,3 \cdot 10^4$

3. Укажіть функцію, що є оберненою пропорційністю.
А. $y = -\frac{5}{x}$ Б. $y=-\frac{5}{x^2}$ В. $y = -\frac{x}{5}$ Г. $y = -5x$

4. Обчисліть:
1) $2^{-3}$; 2) $(-5)^{-1}$; 3) $(1\frac{1}{3})^{-3}$; 4) $(1,8 \cdot 10^3) \cdot (3 \cdot 10^{-8})$.

5. Спростіть вираз:
1) $-6x^{-7}y^5 \cdot (-\frac{1}{6}x^{-2}y^{-2})$; 2) $(-\frac{2}{5}a^5b) \cdot \frac{15}{16}a^{-7}b^{-1}$.

6. Подайте число у стандартному вигляді:
1) $41 000$; 2) $0,04$; 3) $317,8$; 4) $0,408$.

7. Подайте у вигляді виразу, який не містить степеня з від'ємним показником:
1) $(3,2m^5n^{-7}) : (0,4m^{-3}n^{-2})$; 2) $(\frac{2p^3}{3a^4})^{-2} \cdot 4p^6a^{-11}$.

8. Побудуйте графік функції $y=-\frac{6}{x}$. Користуючись графіком, знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 1; -2;
2) значення аргументу, за яких функція дорівнює -3; 6;
3) значення аргументу, за яких функція набуває від'ємних значень; додатних значень.

9. Скоротіть дріб:
1) $\frac{20}{2^{n+2}+2^n}$; 2) $\frac{y^{-3}+y^4}{y+y^8}$.

Короткий розв'язок

1. Г. $a^{16}$.

2. Б. $6,73 \cdot 10^4$.

3. А. $y = -\frac{5}{x}$.

4. 1) $\frac{1}{8}$; 2) $-\frac{1}{5}$; 3) $\frac{27}{64}$; 4) $5,4 \cdot 10^{-5}$.

5. 1) $x^{-9}y^3$; 2) $-\frac{3}{8}a^{-2}$.

6. 1) $4,1 \cdot 10^4$; 2) $4 \cdot 10^{-2}$; 3) $3,178 \cdot 10^2$; 4) $4,08 \cdot 10^{-1}$.

7. 1) $\frac{8m^8}{n^5}$; 2) $\frac{9}{a^3}$.

8. 1) $y(1)=-6, y(-2)=3$; 2) $x=2, x=-1$; 3) $y<0$ при $x>0$, $y>0$ при $x<0$.

9. 1) $4 \cdot 2^{-n}$; 2) $\frac{1}{y^4}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості степеня з цілим показником, визначення стандартного вигляду числа та властивості функції $y = k/x$.

1. $a^{12} : a^{-4} = a^{12 - (-4)} = a^{12+4} = a^{16}$.
Відповідь: Г.

2. Стандартний вигляд числа - це запис у вигляді $a \cdot 10^n$, де $1 \le a < 10$. Число $6,73 \cdot 10^4$ записане у стандартному вигляді.
Відповідь: Б.

3. Обернена пропорційність - це функція виду $y = \frac{k}{x}$, де $k \neq 0$. Цьому визначенню відповідає функція $y = -\frac{5}{x}$.
Відповідь: А.

4. 1) $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
2) $(-5)^{-1} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$.
3) $(1\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{4}{3})^{-3} = (\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$.
4) $(1,8 \cdot 10^3) \cdot (3 \cdot 10^{-8}) = (1,8 \cdot 3) \cdot 10^{3-8} = 5,4 \cdot 10^{-5}$.

5. 1) $-6x^{-7}y^5 \cdot (-\frac{1}{6}x^{-2}y^{-2}) = (-6 \cdot (-\frac{1}{6})) \cdot x^{-7-2} \cdot y^{5-2} = 1 \cdot x^{-9}y^3 = x^{-9}y^3$.
2) $(-\frac{2}{5}a^5b) \cdot \frac{15}{16}a^{-7}b^{-1} = (-\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{16}) \cdot a^{5-7} \cdot b^{1-1} = -\frac{3}{8}a^{-2}b^0 = -\frac{3}{8}a^{-2}$.

6. 1) $41 000 = 4,1 \cdot 10^4$.
2) $0,04 = 4 \cdot 10^{-2}$.
3) $317,8 = 3,178 \cdot 10^2$.
4) $0,408 = 4,08 \cdot 10^{-1}$.

7. 1) $(3,2m^5n^{-7}) : (0,4m^{-3}n^{-2}) = \frac{3,2}{0,4}m^{5-(-3)}n^{-7-(-2)} = 8m^8n^{-5} = \frac{8m^8}{n^5}$.
2) $(\frac{2p^3}{3a^4})^{-2} \cdot 4p^6a^{-11} = (\frac{3a^4}{2p^3})^2 \cdot 4p^6a^{-11} = \frac{9a^8}{4p^6} \cdot 4p^6a^{-11} = 9a^{8-11} = 9a^{-3} = \frac{9}{a^3}$.

8. Будуємо графік функції $y = -\frac{6}{x}$. Це гіпербола у ІI та IV чвертях.
1) Якщо $x=1$, $y=\frac{-6}{1}=-6$. Якщо $x=-2$, $y=\frac{-6}{-2}=3$.
2) Якщо $y=-3$, то $-3=\frac{-6}{x}$, звідки $x=2$. Якщо $y=6$, то $6=\frac{-6}{x}$, звідки $x=-1$.
3) Функція набуває від'ємних значень ($y<0$), коли $x>0$. Функція набуває додатних значень ($y>0$), коли $x<0$.

9. 1) $\frac{20}{2^{n+2}+2^n} = \frac{20}{2^n \cdot 2^2 + 2^n} = \frac{20}{2^n(4+1)} = \frac{20}{5 \cdot 2^n} = \frac{4}{2^n} = 4 \cdot 2^{-n}$.
2) $\frac{y^{-3}+y^4}{y+y^8} = \frac{\frac{1}{y^3}+y^4}{y(1+y^7)} = \frac{\frac{1+y^7}{y^3}}{y(1+y^7)} = \frac{1+y^7}{y^3} \cdot \frac{1}{y(1+y^7)} = \frac{1}{y^4}$.