ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №3 (Варіант 2)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. $a^{10} : a^{12} = ...$
А. $a^{12}$ Б. $a^{-5}$ В. $a^8$ Г. $a^{-20}$
2. Укажіть число $47,1 \cdot 10^5$, записане у стандартному вигляді.
А. $47,1 \cdot 10^5$ Б. $4,71 \cdot 10^5$ В. $4,71 \cdot 10^5$ Г. $0,471 \cdot 10^5$
3. Укажіть функцію, що є оберненою пропорційністю.
А. $y = -\frac{8}{x}$ Б. $y=-\frac{x}{8}$ В. $y = -8x$ Г. $y = -\frac{8}{x^2}$
4. Обчисліть:
1) $2^{-4}$; 2) $(-9)^{-1}$; 3) $(1\frac{2}{3})^{-2}$; 4) $(1,7 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^{-9})$.
5. Спростіть вираз:
1) $-5a^{-4}b^7 \cdot (-\frac{1}{5}a^{-3}b^{-2})$; 2) $(-\frac{4}{5}m^4n) \cdot \frac{15}{16}m^{-5}n^{-1}$.
6. Подайте число у стандартному вигляді:
1) $29 000$; 2) $0,07$; 3) $194,9$; 4) $0,308$.
7. Подайте у вигляді виразу, який не містить степеня з від'ємним показником:
1) $(2,4x^4y^{-5}) : (0,8x^{-2}y^{-3})$; 2) $(\frac{2x^2}{3y^5})^{-3} \cdot 8x^6y^{-19}$.
8. Побудуйте графік функції $y=-\frac{8}{x}$. Користуючись графіком, знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 2; -4;
2) значення аргументу, за яких функція дорівнює 1; -2;
3) значення аргументу, за яких функція набуває від'ємних значень; додатних значень.
9. Скоротіть дріб:
1) $\frac{35}{2^{n+3}-2^n}$; 2) $\frac{x^{-4}+x^2}{x+x^7}$.
Короткий розв'язок
1. Правильна відповідь $a^{-2}$, відсутня у варіантах.
2. Правильна відповідь $4,71 \cdot 10^6$, відсутня у варіантах.
3. А. $y = -\frac{8}{x}$.
4. 1) $\frac{1}{16}$; 2) $-\frac{1}{9}$; 3) $\frac{9}{25}$; 4) $3,4 \cdot 10^{-5}$.
5. 1) $a^{-7}b^5$; 2) $-\frac{3}{4}m^{-1}$.
6. 1) $2,9 \cdot 10^4$; 2) $7 \cdot 10^{-2}$; 3) $1,949 \cdot 10^2$; 4) $3,08 \cdot 10^{-1}$.
7. 1) $\frac{3x^6}{y^2}$; 2) $\frac{27}{y^4}$.
8. 1) $y(2)=-4, y(-4)=2$; 2) $x=-8, x=4$; 3) $y<0$ при $x>0$, $y>0$ при $x<0$.
9. 1) $5 \cdot 2^{-n}$; 2) $\frac{1}{x^5}$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості степеня з цілим показником, визначення стандартного вигляду числа та властивості функції $y = k/x$.
1. $a^{10} : a^{12} = a^{10-12} = a^{-2}$. Жоден з варіантів відповіді не є правильним.
2. Стандартний вигляд числа - це запис у вигляді $a \cdot 10^n$, де $1 \le a < 10$. $47,1 \cdot 10^5 = (4,71 \cdot 10^1) \cdot 10^5 = 4,71 \cdot 10^6$. У варіантах відповіді правильного запису немає.
3. Обернена пропорційність - це функція виду $y = \frac{k}{x}$, де $k \neq 0$. Цьому визначенню відповідає функція $y = -\frac{8}{x}$.
Відповідь: А.
4. 1) $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
2) $(-9)^{-1} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$.
3) $(1\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{5}{3})^{-2} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.
4) $(1,7 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^{-9}) = (1,7 \cdot 2) \cdot 10^{4-9} = 3,4 \cdot 10^{-5}$.
5. 1) $-5a^{-4}b^7 \cdot (-\frac{1}{5}a^{-3}b^{-2}) = (-5 \cdot (-\frac{1}{5})) \cdot a^{-4-3} \cdot b^{7-2} = 1 \cdot a^{-7}b^5 = a^{-7}b^5$.
2) $(-\frac{4}{5}m^4n) \cdot \frac{15}{16}m^{-5}n^{-1} = (-\frac{4}{5} \cdot \frac{15}{16}) \cdot m^{4-5} \cdot n^{1-1} = -\frac{3}{4}m^{-1}n^0 = -\frac{3}{4}m^{-1}$.
6. 1) $29 000 = 2,9 \cdot 10^4$.
2) $0,07 = 7 \cdot 10^{-2}$.
3) $194,9 = 1,949 \cdot 10^2$.
4) $0,308 = 3,08 \cdot 10^{-1}$.
7. 1) $(2,4x^4y^{-5}) : (0,8x^{-2}y^{-3}) = \frac{2,4}{0,8}x^{4-(-2)}y^{-5-(-3)} = 3x^6y^{-2} = \frac{3x^6}{y^2}$.
2) $(\frac{2x^2}{3y^5})^{-3} \cdot 8x^6y^{-19} = (\frac{3y^5}{2x^2})^3 \cdot 8x^6y^{-19} = \frac{27y^{15}}{8x^6} \cdot 8x^6y^{-19} = 27y^{15-19} = 27y^{-4} = \frac{27}{y^4}$.
8. Будуємо графік функції $y = -\frac{8}{x}$. Це гіпербола у ІI та IV чвертях.
1) Якщо $x=2$, $y=\frac{-8}{2}=-4$. Якщо $x=-4$, $y=\frac{-8}{-4}=2$.
2) Якщо $y=1$, то $1=\frac{-8}{x}$, звідки $x=-8$. Якщо $y=-2$, то $-2=\frac{-8}{x}$, звідки $x=4$.
3) Функція набуває від'ємних значень ($y<0$), коли $x>0$. Функція набуває додатних значень ($y>0$), коли $x<0$.
9. 1) $\frac{35}{2^{n+3}-2^n} = \frac{35}{2^n \cdot 2^3 - 2^n} = \frac{35}{2^n(8-1)} = \frac{35}{7 \cdot 2^n} = \frac{5}{2^n} = 5 \cdot 2^{-n}$.
2) $\frac{x^{-4}+x^2}{x+x^7} = \frac{\frac{1}{x^4}+x^2}{x(1+x^6)} = \frac{\frac{1+x^6}{x^4}}{x(1+x^6)} = \frac{1+x^6}{x^4} \cdot \frac{1}{x(1+x^6)} = \frac{1}{x^5}$.
