ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Для функції $y = x^2$ знайдіть значення $y$, яке відповідає значенню $x = -7$.
А. $-14$ Б. $14$ В. $49$ Г. $-49$

2. Укажіть вираз, який не має змісту.
А. $\sqrt{0}$ Б. $\sqrt{-4}$ В. $\sqrt{7}$ Г. $\sqrt{16}$

3. Яке із чисел є ірраціональним?
А. $\sqrt{36}$ Б. $\sqrt{\frac{1}{9}}$ В. $7$ Г. $\sqrt{7}$

4. Обчисліть:
1) $\sqrt{1\frac{24}{25}} - 10\sqrt{0,09}$; 2) $(-2\sqrt{7})^2$;
3) $\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{3,6}$; 4) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{1,5}}$.

5. Розв'яжіть рівняння:
1) $\sqrt{x} = \frac{2}{3}$; 2) $\sqrt{x} = -2$; 3) $x^2 = 64$; 4) $x^2 = -4$.

6. Скоротіть дріб:
1) $\frac{x^2 - 5}{x + \sqrt{5}}$; 2) $\frac{2\sqrt{3} + 3}{7\sqrt{3}}$.

7. Порівняйте числа:
1) $\frac{2}{5}\sqrt{125}$ і $\frac{3}{5}\sqrt{75}$; 2) $0,2\sqrt{2\frac{5}{8}}$ і $0,4\sqrt{\frac{21}{32}}$.

8. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) $\sqrt{a^{11}}$; 2) $\sqrt{7p^6}$, якщо $p < 0$.

9. Знайдіть значення виразу $(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}})^2$.

Короткий розв'язок

1. $y = (-7)^2 = 49 \implies$ В.

2. $\sqrt{-4}$ не існує $\implies$ Б.

3. $\sqrt{7} \implies$ Г.

4. 1) $\frac{7}{5} - 3 = -1,6$; 2) $4 \cdot 7 = 28$; 3) $\sqrt{0,36} = 0,6$; 4) $\sqrt{16} = 4$.

5. 1) $x = \frac{4}{9}$; 2) $\emptyset$; 3) $x = \pm 8$; 4) $\emptyset$.

6. 1) $x - \sqrt{5}$; 2) $\frac{2 + \sqrt{3}}{7}$.

7. 1) $\sqrt{20} < \sqrt{27}$; 2) $\sqrt{\frac{21}{200}} = \sqrt{\frac{21}{200}}$.

8. 1) $a^5\sqrt{a}$; 2) $-p^3\sqrt{7}$.

9. $18 + 2\sqrt{81 - 80} = 20$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо означення квадратного кореня, властивість $\sqrt{a^2} = |a|$, правила порівняння та винесення множника з-під знака кореня. Для рівнянь пам'ятайте: $x^2 = a$ має корені при $a \ge 0$, а $\sqrt{x} = a$ — лише при $a \ge 0$.

1. Підставимо $x = -7$ у функцію: $y = (-7)^2 = 49$.
Відповідь: В.

2. Арифметичний квадратний корінь визначений лише для невід’ємних чисел. $\sqrt{-4}$ не має змісту в множині дійсних чисел.
Відповідь: Б.

3. Число $\sqrt{7}$ неможливо представити у вигляді нескоротного дробу $\frac{m}{n}$, його десятковий запис — нескінченний неперіодичний дріб.
Відповідь: Г.

4.
1) $\sqrt{1\frac{24}{25}} - 10\sqrt{0,09} = \sqrt{\frac{49}{25}} - 10 \cdot 0,3 = \frac{7}{5} - 3 = 1,4 - 3 = -1,6$;
2) $(-2\sqrt{7})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$;
3) $\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{3,6} = \sqrt{0,1 \cdot 3,6} = \sqrt{0,36} = 0,6$;
4) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{1,5}} = \sqrt{\frac{24}{1,5}} = \sqrt{16} = 4$.

5.
1) $\sqrt{x} = \frac{2}{3} \implies x = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$;
2) $\sqrt{x} = -2$. Оскільки $\sqrt{x} \ge 0$, рівняння коренів не має;
3) $x^2 = 64 \implies x = \pm\sqrt{64} \implies x = 8$ або $x = -8$;
4) $x^2 = -4$. Оскільки $x^2 \ge 0$, рівняння коренів не має.

6.
1) $\frac{x^2 - 5}{x + \sqrt{5}} = \frac{(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{x + \sqrt{5}} = x - \sqrt{5}$;
2) $\frac{2\sqrt{3} + 3}{7\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{7\sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{7}$.

7.
1) Внесемо множники під корінь:
$\frac{2}{5}\sqrt{125} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 125} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$;
$\frac{3}{5}\sqrt{75} = \sqrt{\frac{9}{25} \cdot 75} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.
Оскільки $20 < 27$, то $\frac{2}{5}\sqrt{125} < \frac{3}{5}\sqrt{75}$.
2) $0,2\sqrt{\frac{21}{8}} = \sqrt{0,04 \cdot \frac{21}{8}} = \sqrt{\frac{21}{200}}$.
$0,4\sqrt{\frac{21}{32}} = \sqrt{0,16 \cdot \frac{21}{32}} = \sqrt{\frac{0,01 \cdot 21}{2}} = \sqrt{\frac{21}{200}}$. Числа рівні.

8.
1) $\sqrt{a^{11}} = \sqrt{a^{10} \cdot a} = a^5\sqrt{a}$;
2) $\sqrt{7p^6} = \sqrt{7 \cdot (p^3)^2} = |p^3|\sqrt{7}$. Оскільки $p < 0$, то $p^3 < 0$, тому $|p^3| = -p^3$. Маємо $-p^3\sqrt{7}$.

9. Застосуємо формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}})^2 + 2\sqrt{(9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5})} + (\sqrt{9 + 4\sqrt{5}})^2 =$
$= 9 - 4\sqrt{5} + 2\sqrt{81 - 80} + 9 + 4\sqrt{5} = 18 + 2\sqrt{1} = 20$.