ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Для функції $y = x^2$ знайдіть значення $y$, яке відповідає значенню $x = -9$.
А. $-81$ Б. $81$ В. $-18$ Г. $18$

2. Укажіть вираз, який не має змісту.
А. $\sqrt{-9}$ Б. $\sqrt{0}$ В. $\sqrt{7}$ Г. $\sqrt{25}$

3. Яке із чисел є ірраціональним?
А. $\sqrt{\frac{1}{49}}$ Б. $3$ В. $\sqrt{3}$ Г. $\sqrt{4}$

4. Обчисліть:
1) $\sqrt{1\frac{21}{100}} - 5\sqrt{0,04}$; 2) $(-3\sqrt{2})^2$;
3) $\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{4,9}$; 4) $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{1,5}}$.

5. Розв'яжіть рівняння:
1) $\sqrt{x} = -3$; 2) $\sqrt{x} = \frac{2}{5}$; 3) $x^2 = -25$; 4) $x^2 = 4$.

6. Скоротіть дріб:
1) $\frac{x^2 - 7}{x + \sqrt{7}}$; 2) $\frac{4\sqrt{5} - 5}{7\sqrt{5}}$.

7. Порівняйте числа:
1) $\frac{2}{5}\sqrt{200}$ і $\frac{4}{5}\sqrt{50}$; 2) $0,3\sqrt{1\frac{2}{9}}$ і $0,4\sqrt{\frac{19}{32}}$.

8. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) $\sqrt{3a^7}$; 2) $\sqrt{c^{10}}$, якщо $c < 0$.

9. Знайдіть значення виразу $(\sqrt{8 - 3\sqrt{7}} - \sqrt{8 + 3\sqrt{7}})^2$.

Короткий розв'язок

1. $y = (-9)^2 = 81 \implies$ Б.

2. $\sqrt{-9}$ не існує $\implies$ А.

3. $\sqrt{3} \implies$ В.

4. 1) $1,1 - 1 = 0,1$; 2) $9 \cdot 2 = 18$; 3) $\sqrt{0,49} = 0,7$; 4) $\sqrt{36} = 6$.

5. 1) $\emptyset$; 2) $x = 0,16$; 3) $\emptyset$; 4) $x = \pm 2$.

6. 1) $x - \sqrt{7}$; 2) $\frac{4 - \sqrt{5}}{7}$.

7. 1) $4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$; 2) $\sqrt{0,11} > \sqrt{0,095} \implies >$.

8. 1) $a^3\sqrt{3a}$ (при $a \ge 0$); 2) $-c^5$.

9. $16 - 2\sqrt{64 - 63} = 14$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо властивості арифметичного квадратного кореня, означення ірраціональних чисел та методи розв'язання рівнянь виду $x^2 = a$ та $\sqrt{x} = a$. Пам'ятайте про тотожність $\sqrt{a^2} = |a|$.

1. Підставимо $x = -9$ у формулу функції: $y = (-9)^2 = 81$.
Відповідь: Б.

2. Квадратний корінь з від'ємного числа не визначений на множині дійсних чисел. Отже, вираз $\sqrt{-9}$ не має змісту.
Відповідь: А.

3. $\sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}$, $\sqrt{4} = 2$ — це раціональні числа. $3$ — ціле (раціональне) число. $\sqrt{3}$ — ірраціональне число.
Відповідь: В.

4.
1) $\sqrt{1\frac{21}{100}} - 5\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{121}{100}} - 5 \cdot 0,2 = \frac{11}{10} - 1 = 1,1 - 1 = 0,1$;
2) $(-3\sqrt{2})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$;
3) $\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{4,9} = \sqrt{0,1 \cdot 4,9} = \sqrt{0,49} = 0,7$;
4) $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{1,5}} = \sqrt{\frac{54}{1,5}} = \sqrt{36} = 6$.

5.
1) $\sqrt{x} = -3$. Значення кореня не може бути від'ємним. Коренів немає;
2) $\sqrt{x} = \frac{2}{5} \implies x = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25} = 0,16$;
3) $x^2 = -25$. Квадрат числа не може бути від'ємним. Коренів немає;
4) $x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = 2$ або $x = -2$.

6.
1) $\frac{x^2 - 7}{x + \sqrt{7}} = \frac{(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})}{x + \sqrt{7}} = x - \sqrt{7}$;
2) $\frac{4\sqrt{5} - 5}{7\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(4 - \sqrt{5})}{7\sqrt{5}} = \frac{4 - \sqrt{5}}{7}$.

7.
1) Порівняємо $\frac{2}{5}\sqrt{200}$ та $\frac{4}{5}\sqrt{50}$.
$\frac{2}{5}\sqrt{100 \cdot 2} = \frac{2}{5} \cdot 10\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
$\frac{4}{5}\sqrt{25 \cdot 2} = \frac{4}{5} \cdot 5\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Отже, $\frac{2}{5}\sqrt{200} = \frac{4}{5}\sqrt{50}$.
2) $0,3\sqrt{1\frac{2}{9}} = 0,3\sqrt{\frac{11}{9}} = 0,3 \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = 0,1\sqrt{11} = \sqrt{0,01 \cdot 11} = \sqrt{0,11}$.
$0,4\sqrt{\frac{19}{32}} = \sqrt{0,16 \cdot \frac{19}{32}} = \sqrt{\frac{0,01 \cdot 19}{2}} = \sqrt{0,095}$.
Оскільки $0,11 > 0,095$, то $0,3\sqrt{1\frac{2}{9}} > 0,4\sqrt{\frac{19}{32}}$.

8.
1) $\sqrt{3a^7}$. Вираз має зміст при $a \ge 0$.
$\sqrt{3 \cdot a^6 \cdot a} = a^3\sqrt{3a}$;
2) $\sqrt{c^{10}}$ при $c < 0$.
$\sqrt{(c^5)^2} = |c^5|$. Оскільки $c < 0$, то $c^5 < 0$, тому $|c^5| = -c^5$.

9. Застосуємо формулу квадрата різниці $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{8 - 3\sqrt{7}})^2 - 2\sqrt{(8 - 3\sqrt{7})(8 + 3\sqrt{7})} + (\sqrt{8 + 3\sqrt{7}})^2 =$
$= 8 - 3\sqrt{7} - 2\sqrt{64 - (3\sqrt{7})^2} + 8 + 3\sqrt{7} =$
$= 16 - 2\sqrt{64 - 63} = 16 - 2\sqrt{1} = 14$.