ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Для функції $y = x^2$ знайдіть значення $y$, яке відповідає значенню $x = -6$.
А. $-12$ Б. $12$ В. $-36$ Г. $36$

2. Укажіть вираз, який не має змісту.
А. $\sqrt{0}$ Б. $\sqrt{-16}$ В. $\sqrt{13}$ Г. $\sqrt{100}$

3. Яке із чисел є ірраціональним?
А. $\sqrt{13}$ Б. $13$ В. $\sqrt{16}$ Г. $\sqrt{\frac{1}{49}}$

4. Обчисліть:
1) $\sqrt{1\frac{69}{100}} - 5\sqrt{0,16}$; 2) $(-5\sqrt{3})^2$;
3) $\sqrt{6,4} \cdot \sqrt{0,1}$; 4) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2,5}}$.

5. Розв'яжіть рівняння:
1) $\sqrt{x} = \frac{3}{7}$; 2) $\sqrt{x} = -4$; 3) $x^2 = 25$; 4) $x^2 = -9$.

6. Скоротіть дріб:
1) $\frac{x^2 - 11}{x - \sqrt{11}}$; 2) $\frac{7\sqrt{2} - 2}{5\sqrt{2}}$.

7. Порівняйте числа:
1) $\frac{2}{7}\sqrt{392}$ і $\frac{4}{7}\sqrt{98}$; 2) $0,2\sqrt{2\frac{3}{4}}$ і $0,3\sqrt{\frac{17}{18}}$.

8. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) $\sqrt{5b^{11}}$; 2) $\sqrt{m^6}$, якщо $m < 0$.

9. Знайдіть значення виразу $(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{5}})^2$.

Короткий розв'язок

1. $y = (-6)^2 = 36 \implies$ Г.

2. $\sqrt{-16} \implies$ Б.

3. $\sqrt{13} \implies$ А.

4. 1) $1,3 - 2 = -0,7$; 2) $25 \cdot 3 = 75$; 3) $\sqrt{0,64} = 0,8$; 4) $\sqrt{4} = 2$.

5. 1) $x = \frac{9}{49}$; 2) $\emptyset$; 3) $x = \pm 5$; 4) $\emptyset$.

6. 1) $x + \sqrt{11}$; 2) $\frac{7 - \sqrt{2}}{5}$.

7. 1) $4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \implies =$; 2) $\sqrt{0,11} > \sqrt{0,085} \implies >$.

8. 1) $b^5\sqrt{5b}$; 2) $-m^3$.

9. $18 - 2\sqrt{81 - 80} = 16$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для успішного виконання роботи використовуємо властивості арифметичного квадратного кореня. Пам'ятайте, що $\sqrt{a^2} = |a|$, а корінь з від'ємного числа не існує. При порівнянні ірраціональних виразів зручно вносити множники під знак кореня.

1. Підставимо значення аргументу $x = -6$ у функцію $y = x^2$: $y = (-6)^2 = 36$.
Відповідь: Г.

2. Арифметичний квадратний корінь визначений лише для невід'ємних чисел ($a \ge 0$). Вираз $\sqrt{-16}$ не має змісту.
Відповідь: Б.

3. Числа $13$, $\sqrt{16}=4$ та $\sqrt{1/49}=1/7$ є раціональними. Число $\sqrt{13}$ неможливо представити у вигляді нескоротного дробу, тому воно ірраціональне.
Відповідь: А.

4.
1) $\sqrt{1\frac{69}{100}} - 5\sqrt{0,16} = \sqrt{\frac{169}{100}} - 5 \cdot 0,4 = 1,3 - 2 = -0,7$;
2) $(-5\sqrt{3})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$;
3) $\sqrt{6,4} \cdot \sqrt{0,1} = \sqrt{0,64} = 0,8$;
4) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2,5}} = \sqrt{\frac{10}{2,5}} = \sqrt{4} = 2$.

5.
1) $\sqrt{x} = \frac{3}{7} \implies x = (\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$;
2) $\sqrt{x} = -4$. Оскільки $\sqrt{x} \ge 0$, рівняння коренів не має;
3) $x^2 = 25 \implies x = \pm\sqrt{25}$, отже $x = 5$ або $x = -5$;
4) $x^2 = -9$. Квадрат дійсного числа не може бути від'ємним, тому коренів немає.

6.
1) Скористаємося формулою різниці квадратів: $\frac{x^2 - 11}{x - \sqrt{11}} = \frac{(x - \sqrt{11})(x + \sqrt{11})}{x - \sqrt{11}} = x + \sqrt{11}$;
2) Винесемо спільний множник: $\frac{7\sqrt{2} - 2}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(7 - \sqrt{2})}{5\sqrt{2}} = \frac{7 - \sqrt{2}}{5}$.

7.
1) $\frac{2}{7}\sqrt{392} = \sqrt{\frac{4}{49} \cdot 392} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$;
$\frac{4}{7}\sqrt{98} = \sqrt{\frac{16}{49} \cdot 98} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$. Отже, $\frac{2}{7}\sqrt{392} = \frac{4}{7}\sqrt{98}$.
2) $0,2\sqrt{2\frac{3}{4}} = 0,2\sqrt{\frac{11}{4}} = 0,1\sqrt{11} = \sqrt{0,11}$.
$0,3\sqrt{\frac{17}{18}} = \sqrt{0,09 \cdot \frac{17}{18}} = \sqrt{0,085}$. Оскільки $0,11 > 0,085$, перше число більше.

8.
1) $\sqrt{5b^{11}} = \sqrt{5 \cdot b^{10} \cdot b} = b^5\sqrt{5b}$ (за умови $b \ge 0$);
2) $\sqrt{m^6} = |m^3|$. Оскільки $m < 0$, то $m^3 < 0$, тому $|m^3| = -m^3$.

9. Застосуємо формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}})^2 - 2\sqrt{(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5})} + (\sqrt{9 - 4\sqrt{5}})^2 =$
$= 9 + 4\sqrt{5} - 2\sqrt{81 - 80} + 9 - 4\sqrt{5} = 18 - 2\sqrt{1} = 16$.