ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Для функції $y = x^2$ знайдіть значення $y$, яке відповідає значенню $x = -8$.
А. $64$ Б. $-64$ В. $-16$ Г. $16$

2. Який з виразів не має змісту?
А. $\sqrt{11}$ Б. $\sqrt{36}$ В. $\sqrt{-25}$ Г. $\sqrt{0}$

3. Яке із чисел є ірраціональним?
А. $5$ Б. $\sqrt{5}$ В. $\sqrt{81}$ Г. $\sqrt{\frac{1}{4}}$

4. Обчисліть:
1) $\sqrt{1\frac{11}{25}} - 10\sqrt{0,16}$; 2) $(-3\sqrt{5})^2$;
3) $\sqrt{2,5} \cdot \sqrt{0,1}$; 4) $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{2,5}}$.

5. Розв'яжіть рівняння:
1) $\sqrt{x} = -1$; 2) $\sqrt{x} = \frac{4}{7}$; 3) $x^2 = -16$; 4) $x^2 = 9$.

6. Скоротіть дріб:
1) $\frac{x^2 - 3}{x - \sqrt{3}}$; 2) $\frac{2\sqrt{7} + 7}{3\sqrt{7}}$.

7. Порівняйте числа:
1) $\frac{4}{5}\sqrt{50}$ і $\frac{3}{5}\sqrt{125}$; 2) $0,4\sqrt{\frac{23}{32}}$ і $0,2\sqrt{2\frac{7}{8}}$.

8. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) $\sqrt{c^{15}}$; 2) $\sqrt{2a^6}$, якщо $a < 0$.

9. Знайдіть значення виразу $(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^2$.

Короткий розв'язок

1. $y = (-8)^2 = 64 \implies$ А.

2. $\sqrt{-25} \implies$ В.

3. $\sqrt{5} \implies$ Б.

4. 1) $1,2 - 4 = -2,8$; 2) $9 \cdot 5 = 45$; 3) $\sqrt{0,25} = 0,5$; 4) $\sqrt{16} = 4$.

5. 1) $\emptyset$; 2) $x = \frac{16}{49}$; 3) $\emptyset$; 4) $x = \pm 3$.

6. 1) $x + \sqrt{3}$; 2) $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$.

7. 1) $\sqrt{32} < \sqrt{45} \implies <$; 2) $\sqrt{0,115} = \sqrt{0,115} \implies =$.

8. 1) $c^7\sqrt{c}$; 2) $-a^3\sqrt{2}$.

9. $14 + 2\sqrt{49 - 48} = 16$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості арифметичного квадратного кореня, правила скорочення дробів та тотожність $\sqrt{a^2} = |a|$. Для порівняння чисел вносимо множники під знак кореня, а для спрощення складних виразів застосовуємо формули скороченого множення.

1. Значення функції $y = x^2$ при $x = -8$: $y = (-8)^2 = 64$.
Відповідь: А.

2. Вираз $\sqrt{a}$ має зміст лише при $a \ge 0$. Оскільки $-25 < 0$, вираз $\sqrt{-25}$ не має змісту.
Відповідь: В.

3. Числа $5$, $\sqrt{81} = 9$ та $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ є раціональними. $\sqrt{5}$ неможливо представити у вигляді нескоротного дробу, отже воно ірраціональне.
Відповідь: Б.

4.
1) $\sqrt{1\frac{11}{25}} - 10\sqrt{0,16} = \sqrt{\frac{36}{25}} - 10 \cdot 0,4 = \frac{6}{5} - 4 = 1,2 - 4 = -2,8$;
2) $(-3\sqrt{5})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$;
3) $\sqrt{2,5} \cdot \sqrt{0,1} = \sqrt{0,25} = 0,5$;
4) $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{2,5}} = \sqrt{\frac{40}{2,5}} = \sqrt{16} = 4$.

5.
1) $\sqrt{x} = -1$. Оскільки за означенням $\sqrt{x} \ge 0$, рівняння не має коренів;
2) $\sqrt{x} = \frac{4}{7} \implies x = (\frac{4}{7})^2 = \frac{16}{49}$;
3) $x^2 = -16$. Квадрат числа не може бути від'ємним, тому коренів немає;
4) $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9}$, отже $x = 3$ або $x = -3$.

6.
1) $\frac{x^2 - 3}{x - \sqrt{3}} = \frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x - \sqrt{3}} = x + \sqrt{3}$;
2) $\frac{2\sqrt{7} + 7}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}(2 + \sqrt{7})}{3\sqrt{7}} = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$.

7.
1) $\frac{4}{5}\sqrt{50} = \sqrt{\frac{16}{25} \cdot 50} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$;
$\frac{3}{5}\sqrt{125} = \sqrt{\frac{9}{25} \cdot 125} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.
Оскільки $32 < 45$, то $\frac{4}{5}\sqrt{50} < \frac{3}{5}\sqrt{125}$.
2) $0,4\sqrt{\frac{23}{32}} = \sqrt{0,16 \cdot \frac{23}{32}} = \sqrt{\frac{0,01 \cdot 23}{2}} = \sqrt{0,115}$.
$0,2\sqrt{2\frac{7}{8}} = \sqrt{0,04 \cdot \frac{23}{8}} = \sqrt{\frac{0,01 \cdot 23}{2}} = \sqrt{0,115}$. Числа рівні.

8.
1) $\sqrt{c^{15}} = \sqrt{c^{14} \cdot c} = c^7\sqrt{c}$;
2) $\sqrt{2a^6} = \sqrt{2(a^3)^2} = |a^3|\sqrt{2}$. Оскільки $a < 0$, то $a^3 < 0$, отже $|a^3| = -a^3$. Маємо $-a^3\sqrt{2}$.

9. Використовуємо формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^2 + 2\sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} + (\sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^2 =$
$= 7 + 4\sqrt{3} + 2\sqrt{49 - (4\sqrt{3})^2} + 7 - 4\sqrt{3} = 14 + 2\sqrt{49 - 48} = 14 + 2\sqrt{1} = 16$.