ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть рівняння, що є квадратним.
А. $3x^3 - x^2 - x = 0$; Б. $x^2 + \frac{1}{x} - 5 = 0$; В. $5x^2 - 2x - 3 = 0$; Г. $4x - 7 = 0$.
2. Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює числу $-9$, то квадратне рівняння...
А. Не має коренів; Б. Має один корінь; В. Має два різних корені; Г. Має безліч коренів.
3. Нехай $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $x^2 + 2x - 5 = 0$. Тоді...
4. Розв'яжіть неповне квадратне рівняння:
1) $2x^2 - 8 = 0$; 2) $4x^2 - 5x = 0$.
5. Розв'яжіть рівняння:
1) $2x^2 - 7x + 6 = 0$; 2) $x^2 + 6x + 9 = 0$.
6. Одна зі сторін прямокутника на 3 см менша за іншу, а його площа дорівнює 154 см². Знайдіть периметр прямокутника.
7. Розв'яжіть рівняння:
1) $(x - 2)^2 = 2x - 6$; 2) $\frac{1}{2}x^2 - x - 5 = 0$.
8. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат меншого з них на 165 менший від суми квадратів двох інших.
9. Розв'яжіть рівняння $(\sqrt{x} - 3)(x^2 + 2x - 8) = 0$.
Короткий розв'язок
1. Рівняння виду $ax^2 + bx + c = 0$. Відповідь: В.
2. $D = -9 < 0 \implies$ коренів немає. Відповідь: А.
3. $x_1+x_2 = -2, x_1x_2 = -5$. Відповідь: Г.
4. 1) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$; 2) $x(4x - 5) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 1,25$.
5. 1) $D = 1 \implies x_1 = 2, x_2 = 1,5$; 2) $(x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$.
6. $x(x - 3) = 154 \implies x = 14, x - 3 = 11$. $P = 2(14 + 11) = 50$ см.
7. 1) $x^2 - 6x + 10 = 0 \implies D = -4 < 0$, коренів немає; 2) $x = 1 \pm \sqrt{11}$.
8. $n^2 + 165 = (n+1)^2 + (n+2)^2 \implies n = 10$. Числа: 10, 11, 12.
9. $x = 9$ або $x = 2$ (враховуючи ОДЗ $x \ge 0$).
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання використовуємо означення квадратного рівняння, формулу дискримінанта $D = b^2 - 4ac$ та теорему Вієта. Пам'ятайте, що при $D < 0$ дійсних коренів немає, а при розв'язанні ірраціональних рівнянь обов'язково враховуємо область допустимих значень (ОДЗ).
1. Квадратним є рівняння виду $ax^2 + bx + c = 0$, де $a \ne 0$. У варіанті В маємо $5x^2 - 2x - 3 = 0$.
Відповідь: В.
2. Якщо дискримінант $D < 0$, то квадратне рівняння не має дійсних коренів.
Відповідь: А.
3. Для зведеного квадратного рівняння $x^2 + 2x - 5 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_1 + x_2 = -p = -2$ та $x_1x_2 = q = -5$.
Відповідь: Г.
4.
1) $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$;
2) $x(4x - 5) = 0 \implies x_1 = 0$ або $4x = 5 \implies x_2 = 1,25$.
5.
1) $2x^2 - 7x + 6 = 0$. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.
$x_1 = \frac{7+1}{4} = 2$; $x_2 = \frac{7-1}{4} = 1,5$.
2) $x^2 + 6x + 9 = 0 \implies (x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$.
6. Нехай сторони прямокутника $x$ та $(x - 3)$ см. Площа $S = x(x - 3) = 154$.
$x^2 - 3x - 154 = 0$. $D = 9 + 616 = 625 = 25^2$.
$x = \frac{3 + 25}{2} = 14$ см. Тоді інша сторона: $14 - 3 = 11$ см.
Периметр $P = 2(14 + 11) = 50$ см.
Відповідь: 50 см.
7.
1) $x^2 - 4x + 4 = 2x - 6 \implies x^2 - 6x + 10 = 0$. $D = 36 - 40 = -4 < 0$. Коренів немає.
2) Помножимо на 2: $x^2 - 2x - 10 = 0$. $D = 4 + 40 = 44$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}$.
8. Нехай числа $n, n+1, n+2$. За умовою $n^2 + 165 = (n+1)^2 + (n+2)^2$.
$n^2 + 165 = n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4$;
$n^2 + 6n - 160 = 0$. За теоремою Вієта $n_1 = 10, n_2 = -16$.
Оскільки числа натуральні, $n = 10$. Числа: 10, 11, 12.
Відповідь: 10, 11, 12.
9. ОДЗ: $x \ge 0$. Рівняння дорівнює нулю, якщо один з множників дорівнює нулю:
1) $\sqrt{x} - 3 = 0 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$;
2) $x^2 + 2x - 8 = 0$. За теоремою Вієта $x_1 = 2, x_2 = -4$.
$x_2 = -4$ не задовольняє ОДЗ. Отже, корені: 2 та 9.
Відповідь: 2; 9.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.