ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть рівняння, що є квадратним.
А. $4x^2 - 5x + 7 = 0$; Б. $x^3 - x^2 + 5 = 0$; В. $x^2 + \frac{5}{x} - 9 = 0$; Г. $7x - 11 = 0$.

2. Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює 17, то квадратне рівняння...
А. Має безліч коренів; Б. Має два різних корені; В. Має один корінь; Г. Не має коренів.

3. Нехай $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $x^2 - 3x - 7 = 0$. Тоді...

$$А. \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1x_2 = 7 \end{cases} \quad Б. \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1x_2 = -7 \end{cases} \quad В. \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1x_2 = 7 \end{cases} \quad Г. \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1x_2 = -7 \end{cases}$$

4. Розв'яжіть неповне квадратне рівняння:
1) $3x^2 - 12 = 0$; 2) $3x^2 + 7x = 0$.

5. Розв'яжіть рівняння:
1) $2x^2 + 7x + 6 = 0$; 2) $x^2 - 10x + 25 = 0$.

6. Одна зі сторін прямокутника на 2 см більша за іншу, а його площа дорівнює 168 см². Знайдіть периметр прямокутника.

7. Розв'яжіть рівняння:
1) $(x - 1)^2 = 2x - 4$; 2) $\frac{1}{2}x^2 - x - 7 = 0$.

8. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат більшого з яких на 96 менший від суми квадратів двох інших.

9. Розв'яжіть рівняння $(\sqrt{x} - 2)(x^2 - 3x - 10) = 0$.

Короткий розв'язок

1. Рівняння виду $ax^2 + bx + c = 0$. Відповідь: А.

2. $D = 17 > 0 \implies$ два різних корені. Відповідь: Б.

3. $x_1+x_2 = 3, x_1x_2 = -7$. Відповідь: Г.

4. 1) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$; 2) $x(3x + 7) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -2\frac{1}{3}$.

5. 1) $D = 1 \implies x_1 = -1,5, x_2 = -2$; 2) $(x - 5)^2 = 0 \implies x = 5$.

6. $x(x + 2) = 168 \implies x = 12, x + 2 = 14$. $P = 2(12 + 14) = 52$ см.

7. 1) $x^2 - 4x + 5 = 0 \implies D = -4 < 0$, коренів немає; 2) $x = 1 \pm \sqrt{15}$.

8. $n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2 + 96 \implies n = 11$. Числа: 11, 12, 13.

9. $x = 4$ або $x = 5$ (враховуючи ОДЗ $x \ge 0$).

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для роботи з квадратними рівняннями застосовуємо формулу дискримінанта та теорему Вієта. Пам'ятайте, що геометричні задачі зводяться до квадратних рівнянь, де обираються лише додатні значення коренів для довжин сторін.

1. Квадратним рівнянням є $ax^2 + bx + c = 0$. У варіанті А маємо $4x^2 - 5x + 7 = 0$. Варіант Б — кубічне, В — не є раціональним через $x$ у знаменнику, Г — лінійне.
Відповідь: А.

2. Якщо дискримінант $D > 0$, рівняння має два різних дійсних корені. Оскільки $17 > 0$, варіант Б є вірним.
Відповідь: Б.

3. За теоремою Вієта для рівняння $x^2 - 3x - 7 = 0$: $x_1 + x_2 = -(-3) = 3$ та $x_1x_2 = -7$.
Відповідь: Г.

4.
1) $3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$;
2) $x(3x + 7) = 0 \implies x_1 = 0$ або $3x = -7 \implies x_2 = -2\frac{1}{3}$.

5.
1) $2x^2 + 7x + 6 = 0$. $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.
$x_1 = \frac{-7+1}{4} = -1,5$; $x_2 = \frac{-7-1}{4} = -2$.
2) $x^2 - 10x + 25 = 0 \implies (x - 5)^2 = 0 \implies x = 5$.

6. Нехай сторони $x$ та $(x + 2)$ см. Площа $S = x(x + 2) = 168$.
$x^2 + 2x - 168 = 0$. $D = 4 + 672 = 676 = 26^2$.
$x = \frac{-2 + 26}{2} = 12$ см. Тоді інша сторона: $12 + 2 = 14$ см.
Периметр $P = 2(12 + 14) = 52$ см.
Відповідь: 52 см.

7.
1) $x^2 - 2x + 1 = 2x - 4 \implies x^2 - 4x + 5 = 0$. $D = 16 - 20 = -4 < 0$. Коренів немає.
2) Помножимо на 2: $x^2 - 2x - 14 = 0$. $D = 4 + 56 = 60$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 1 \pm \sqrt{15}$.

8. Нехай числа $n, n+1, n+2$. За умовою $n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2 + 96$.
$n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + 4n + 4 + 96$;
$n^2 - 2n - 99 = 0$. За теоремою Вієта $n_1 = 11, n_2 = -9$.
Оскільки числа натуральні, $n = 11$. Числа: 11, 12, 13.
Відповідь: 11, 12, 13.

9. ОДЗ: $x \ge 0$. Рівняння дорівнює нулю, коли один з множників нуль:
1) $\sqrt{x} - 2 = 0 \implies x = 4$;
2) $x^2 - 3x - 10 = 0$. За теоремою Вієта $x_1 = 5, x_2 = -2$.
$x_2 = -2$ не задовольняє ОДЗ. Отже, корені: 4 та 5.
Відповідь: 4; 5.