ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть рівняння, що є квадратним.
А. $7x - 11 = 0$; Б. $x^2 - \frac{7}{x} + 8 = 0$; В. $2x^3 - x^2 + x = 0$; Г. $3x^2 - x - 9 = 0$.
2. Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, то квадратне рівняння...
А. Має безліч коренів; Б. Має два різних корені; В. Має один корінь; Г. Не має коренів.
3. Нехай $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $x^2 + 4x - 9 = 0$. Тоді...
4. Розв'яжіть неповне квадратне рівняння:
1) $3x^2 - 27 = 0$; 2) $3x^2 - 4x = 0$.
5. Розв'яжіть рівняння:
1) $3x^2 - 2x - 8 = 0$; 2) $x^2 - 6x + 9 = 0$.
6. Площа прямокутника дорівнює 195 см², а одна з його сторін на 2 см менша за іншу. Знайдіть периметр прямокутника.
7. Розв'яжіть рівняння:
1) $(x + 2)^2 = 2x - 5$; 2) $\frac{1}{2}x^2 + x - 9 = 0$.
8. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат меншого з яких на 140 менший від суми квадратів двох інших.
9. Розв'яжіть рівняння $(\sqrt{x} - 4)(x^2 - 2x - 8) = 0$.
Короткий розв'язок
1. Відповідь: Г.
2. $D = 0 \implies$ один корінь. Відповідь: В.
3. $x_1+x_2 = -4, x_1x_2 = -9$. Відповідь: Б.
4. 1) $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$; 2) $x(3x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 1\frac{1}{3}$.
5. 1) $D = 100 \implies x_1 = 2, x_2 = -1\frac{1}{3}$; 2) $(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3$.
6. $x(x - 2) = 195 \implies x = 15$. Сторони: 15 см і 13 см. $P = 56$ см.
7. 1) $x^2 + 2x + 9 = 0 \implies D = -32 < 0$, коренів немає; 2) $x = -1 \pm \sqrt{19}$.
8. $n^2 + 140 = (n+1)^2 + (n+2)^2 \implies n = 9$. Числа: 9, 10, 11.
9. $x = 16$ або $x = 4$ (враховуючи ОДЗ $x \ge 0$).
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання квадратних рівнянь застосовуємо дискримінант та теорему Вієта. У текстових задачах обов'язково перевіряємо відповідність знайдених значень фізичному змісту (довжина сторони або натуральність чисел).
1. Квадратним є рівняння виду $ax^2 + bx + c = 0$, де $a \ne 0$. У варіанті Г маємо $3x^2 - x - 9 = 0$. Інші варіанти: А — лінійне, Б — дробово-раціональне, В — кубічне.
Відповідь: Г.
2. Квадратне рівняння має лише один корінь (або два однакові), якщо його дискримінант дорівнює нулю.
Відповідь: В.
3. Для рівняння $x^2 + 4x - 9 = 0$ за теоремою Вієта сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток — вільному члену: $x_1 + x_2 = -4$ та $x_1x_2 = -9$.
Відповідь: Б.
4.
1) $3x^2 = 27 \implies x^2 = 9 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$;
2) $x(3x - 4) = 0 \implies x_1 = 0$ або $3x = 4 \implies x_2 = 1\frac{1}{3}$.
5.
1) $3x^2 - 2x - 8 = 0$. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$.
$x_1 = \frac{2 + 10}{6} = 2$; $x_2 = \frac{2 - 10}{6} = -1\frac{1}{3}$.
2) $x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3$.
6. Нехай сторони прямокутника $x$ см та $(x - 2)$ см. Площа $S = x(x - 2) = 195$.
$x^2 - 2x - 195 = 0$. $D/4 = 1 - (-195) = 196 = 14^2$.
$x = 1 + 14 = 15$ см. Інша сторона: $15 - 2 = 13$ см.
Периметр $P = 2(15 + 13) = 56$ см.
Відповідь: 56 см.
7.
1) $x^2 + 4x + 4 = 2x - 5 \implies x^2 + 2x + 9 = 0$. $D = 4 - 36 = -32 < 0$. Рівняння коренів не має.
2) Помножимо на 2: $x^2 + 2x - 18 = 0$. $D = 4 + 72 = 76$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{19}}{2} = -1 \pm \sqrt{19}$.
8. Нехай натуральні числа: $n, n+1, n+2$. За умовою $n^2 + 140 = (n+1)^2 + (n+2)^2$.
$n^2 + 140 = n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 \implies n^2 + 6n - 135 = 0$.
За теоремою Вієта $n_1 = 9, n_2 = -15$. Оскільки $n$ — натуральне, $n = 9$. Числа: 9, 10, 11.
Відповідь: 9, 10, 11.
9. ОДЗ: $x \ge 0$. Рівняння дорівнює нулю, коли хоча б один множник нуль:
1) $\sqrt{x} - 4 = 0 \implies \sqrt{x} = 4 \implies x = 16$;
2) $x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 4, x_2 = -2$.
$x_2 = -2$ не задовольняє ОДЗ. Корені: 4; 16.
Відповідь: 4; 16.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.