ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть рівняння, що є квадратним.
А. $x^2 - \frac{1}{x} + 9 = 0$; Б. $4x^2 + x - 11 = 0$; В. $4x - 11 = 0$; Г. $x^3 + 2x - 7 = 0$.
2. Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює числу $-16$, то квадратне рівняння...
А. Має два різних корені; Б. Має безліч коренів; В. Має один корінь; Г. Не має коренів.
3. Нехай $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $x^2 + 9x + 5 = 0$. Тоді...
4. Розв'яжіть неповне квадратне рівняння:
1) $2x^2 - 18 = 0$; 2) $5x^2 - 6x = 0$.
5. Розв'яжіть рівняння:
1) $3x^2 + 2x - 8 = 0$; 2) $x^2 + 12x + 36 = 0$.
6. Площа прямокутника дорівнює 180 см², а одна з його сторін на 3 см більша за іншу. Знайдіть периметр прямокутника.
7. Розв'яжіть рівняння:
1) $(x + 1)^2 = 4x - 6$; 2) $\frac{1}{2}x^2 + x - 5 = 0$.
8. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат більшого з них на 117 менший від суми квадратів двох інших.
9. Розв'яжіть рівняння $(\sqrt{x} - 2)(x^2 - 4x - 5) = 0$.
Короткий розв'язок
1. Відповідь: Б.
2. $D = -16 < 0 \implies$ коренів немає. Відповідь: Г.
3. $x_1+x_2 = -9, x_1x_2 = 5$. Відповідь: А.
4. 1) $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$; 2) $x(5x - 6) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 1,2$.
5. 1) $D = 100 \implies x_1 = 1\frac{1}{3}, x_2 = -2$; 2) $(x + 6)^2 = 0 \implies x = -6$.
6. $x(x + 3) = 180 \implies x = 12$. Сторони: 12 см і 15 см. $P = 54$ см.
7. 1) $x^2 - 2x + 7 = 0 \implies D = -24 < 0$, коренів немає; 2) $x = -1 \pm \sqrt{11}$.
8. $(n+2)^2 + 117 = n^2 + (n+1)^2 \implies n = 12$. Числа: 12, 13, 14.
9. $x = 4$ або $x = 5$ (враховуючи ОДЗ $x \ge 0$).
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання квадратних рівнянь застосовуємо дискримінант та теорему Вієта. У прикладних задачах перекладаємо умову на мову математики, складаючи квадратне рівняння, та обов'язково перевіряємо область допустимих значень коренів.
1. Квадратним є рівняння виду $ax^2 + bx + c = 0$, де $a \ne 0$. Варіант Б — $4x^2 + x - 11 = 0$ є квадратним. У варіанті А змінна у знаменнику, В — лінійне, Г — кубічне.
Відповідь: Б.
2. Кількість коренів квадратного рівняння залежить від знака дискримінанта. Оскільки $D = -16 < 0$, рівняння не має дійсних коренів.
Відповідь: Г.
3. Для зведеного квадратного рівняння $x^2 + 9x + 5 = 0$ за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком ($x_1 + x_2 = -9$), а добуток — вільному члену ($x_1x_2 = 5$).
Відповідь: А.
4.
1) $2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$;
2) $x(5x - 6) = 0 \implies x_1 = 0$ або $5x = 6 \implies x_2 = 1,2$.
5.
1) $3x^2 + 2x - 8 = 0$. $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$.
$x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = 1\frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = -2$.
2) $x^2 + 12x + 36 = 0 \implies (x + 6)^2 = 0 \implies x = -6$.
6. Нехай сторони прямокутника $x$ см та $(x + 3)$ см. Площа $S = x(x + 3) = 180$.
$x^2 + 3x - 180 = 0$. За теоремою Вієта $x_1 = 12, x_2 = -15$.
Оскільки сторона не може бути від'ємною, $x = 12$ см. Тоді інша сторона: $12 + 3 = 15$ см.
Периметр $P = 2(12 + 15) = 54$ см.
Відповідь: 54 см.
7.
1) $x^2 + 2x + 1 = 4x - 6 \implies x^2 - 2x + 7 = 0$. $D = 4 - 28 = -24 < 0$. Коренів немає.
2) Помножимо на 2: $x^2 + 2x - 10 = 0$. $D = 4 + 40 = 44$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -1 \pm \sqrt{11}$.
8. Нехай числа: $n, n+1, n+2$. За умовою $(n+2)^2 + 117 = n^2 + (n+1)^2$.
$n^2 + 4n + 4 + 117 = n^2 + n^2 + 2n + 1 \implies n^2 - 2n - 120 = 0$.
За теоремою Вієта $n_1 = 12, n_2 = -10$. Оскільки числа натуральні, $n = 12$. Числа: 12, 13, 14.
Відповідь: 12, 13, 14.
9. ОДЗ: $x \ge 0$. Добуток дорівнює нулю, якщо один з множників нуль:
1) $\sqrt{x} - 2 = 0 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$;
2) $x^2 - 4x - 5 = 0$. За теоремою Вієта $x_1 = 5, x_2 = -1$.
$x_2 = -1$ не задовольняє ОДЗ. Отже, корені: 4; 5.
Відповідь: 4; 5.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.