ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №6 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть вираз, що є квадратним тричленом.
А. $4x^2 + x - 2x^3$; Б. $4x^2 + x - 2$; В. $\frac{1}{4x^2 + x - 2}$; Г. $\frac{4}{x^2} + x - 2$.

2. Обчисліть дискримінант квадратного тричлена $3x^2 - 2x - 6$.
А. -68; Б. 22; В. 78; Г. 76.

3. Укажіть рівняння, що є біквадратним.
А. $8x^4 + 3x^3 + x^2 - 5 = 0$; Б. $8x^2 + x - 9 = 0$;
В. $8x^4 + x^2 - 9 = 0$; Г. $8x^3 + x^2 - 9 = 0$.

4. Розкладіть квадратний тричлен на множники:
1) $x^2 + 2x - 3$; 2) $-2x^2 + 3x + 2$.

5. Знайдіть корені рівняння:
1) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$; 2) $\frac{x^2}{x - 5} = \frac{25}{x - 5}$.

6. Розв'яжіть рівняння $x^3 - 4x^2 - 5x = 0$, розклавши його ліву частину на множники.

7. Скоротіть дріб:
1) $\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x}$; 2) $\frac{x^2 - 4}{3x^2 + 2x - 8}$.

8. З одного міста в інше, відстань між якими 120 км, виїхали одночасно два товарних потяги. Швидкість одного з них була на 10 км/год більшою за швидкість іншого. Тому він прибув у пункт призначення на 1 год раніше. Знайдіть швидкість кожного потяга.

9. Розв'яжіть рівняння:
1) $x + 3\sqrt{x} - 18 = 0$; 2) $(x + 1)^4 - 2(x + 1)^2 - 3 = 0$.

Короткий розв'язок

1. Многочлен виду $ax^2 + bx + c$. Відповідь: Б.

2. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 4 + 72 = 76$. Відповідь: Г.

3. Рівняння виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Відповідь: В.

4. 1) $(x-1)(x+3)$; 2) $-(x-2)(2x+1)$.

5. 1) $x = \pm 2$; 2) $x = -5$.

6. $x(x-5)(x+1) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 5, x_3 = -1$.

7. 1) $\frac{x+2}{x}$; 2) $\frac{x-2}{3x-4}$.

8. $\frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = 1 \implies v^2 + 10v - 1200 = 0 \implies v = 30$. Відповідь: 30 км/год та 40 км/год.

9. 1) $x = 9$; 2) $x = -1 \pm \sqrt{3}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для розкладання квадратного тричлена використовуємо формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$. Рівняння вищих степенів розв'язуємо методом заміни змінної або розкладанням на множники. У текстових задачах на рух пам'ятайте про ОДЗ для знаменників та виключайте від'ємні значення швидкості.

1. Квадратним тричленом є многочлен другого степеня виду $ax^2 + bx + c$. Вираз Б ($4x^2 + x - 2$) відповідає цьому визначенню.
Відповідь: Б.

2. Дискримінант обчислюється за формулою $D = b^2 - 4ac$. Для тричлена $3x^2 - 2x - 6$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 4 + 72 = 76$.
Відповідь: Г.

3. Біквадратним називають рівняння виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Цій структурі відповідає лише варіант В ($8x^4 + x^2 - 9 = 0$).
Відповідь: В.

4.
1) $x^2 + 2x - 3 = 0$. За теоремою Вієта $x_1 = 1, x_2 = -3$. Розклад: $(x - 1)(x + 3)$.
2) $-2x^2 + 3x + 2 = 0$. $D = 9 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 25$. $x_1 = -0,5, x_2 = 2$. Розклад: $-2(x - 2)(x + 0,5) = -(x - 2)(2x + 1)$.

5.
1) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$. Нехай $x^2 = t, t \ge 0$. Тоді $t^2 - 2t - 8 = 0$. Корені: $t_1 = 4, t_2 = -2$ (не задовольняє умові).
$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
2) $\frac{x^2}{x - 5} = \frac{25}{x - 5}$. ОДЗ: $x \ne 5$. Тоді $x^2 = 25 \implies x = \pm 5$. Враховуючи ОДЗ, $x = -5$.

6. Винесемо спільний множник за дужки: $x(x^2 - 4x - 5) = 0$.
Корені квадратного тричлена $x^2 - 4x - 5$ за теоремою Вієта дорівнюють $5$ та $-1$.
Отже, $x(x - 5)(x + 1) = 0$. Корені: $0; 5; -1$.

7.
1) $\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{x(x - 3)} = \frac{x + 2}{x}$.
2) $\frac{x^2 - 4}{3x^2 + 2x - 8}$. Корені знаменника: $D = 100, x_1 = 4/3, x_2 = -2$.
$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)(3x - 4)} = \frac{x - 2}{3x - 4}$.

8. Нехай швидкість першого потяга $v$ км/год, тоді другого — $(v + 10)$ км/год. Складемо рівняння за часом:
$\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = 1$;
$120(v + 10) - 120v = v^2 + 10v \implies v^2 + 10v - 1200 = 0$.
$D = 4900 = 70^2$. $v = (-10 + 70)/2 = 30$.
Швидкості потягів: 30 км/год та 40 км/год.

9.
1) $x + 3\sqrt{x} - 18 = 0$. Заміна $\sqrt{x} = t, t \ge 0$. $t^2 + 3t - 18 = 0 \implies t = 3 \implies x = 9$.
2) $(x + 1)^4 - 2(x + 1)^2 - 3 = 0$. Заміна $(x + 1)^2 = t, t \ge 0$. $t^2 - 2t - 3 = 0 \implies t = 3$.
$(x + 1)^2 = 3 \implies x + 1 = \pm\sqrt{3} \implies x = -1 \pm \sqrt{3}$.