ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №6 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть вираз, що є квадратним тричленом.
А. $7x^2 - x - 3$; Б. $\frac{7}{x^2} - x - 3$; В. $7x^2 - x - 3x^3$; Г. $\frac{1}{7x^2 - x - 3}$.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена $4x^2 + 3x - 7$.
А. -103; Б. 121; В. 37; Г. 119.

3. Укажіть рівняння, що є біквадратним.
А. $7x^3 + x - 3 = 0$; Б. $7x^2 + x - 3 = 0$; В. $7x^4 + x^3 + x^2 - 3 = 0$; Г. $7x^4 + x^2 - 3 = 0$.

4. Розкладіть квадратний тричлен на множники:
1) $x^2 - 2x - 3$; 2) $-2x^2 - 3x + 2$.

5. Знайдіть корені рівняння:
1) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$; 2) $\frac{x^2}{x + 4} = \frac{16}{x + 4}$.

6. Розв'яжіть рівняння $x^3 - 5x^2 - 6x = 0$, розклавши його ліву частину на множники.

7. Скоротіть дріб:
1) $\frac{x^2 - 4x}{x^2 - x - 12}$; 2) $\frac{2x^2 - 11x + 15}{x^2 - 9}$.

8. З одного міста в інше, відстань між якими 144 км, виїхали одночасно два велосипедисти. Швидкість одного з них на 2 км/год більша за швидкість іншого. Тому він прибув у пункт призначення на 1 год раніше. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста.

9. Розв'яжіть рівняння:
1) $x + 2\sqrt{x} - 8 = 0$; 2) $(x - 2)^4 - 4(x - 2)^2 - 5 = 0$.

Короткий розв'язок

1. Вираз виду $ax^2 + bx + c$. Відповідь: А.

2. $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121$. Відповідь: Б.

3. Рівняння виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Відповідь: Г.

4. 1) $(x-3)(x+1)$; 2) $-(x+2)(2x-1)$.

5. 1) $x = \pm 2$; 2) $x = 4$.

6. $x(x-6)(x+1) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 6, x_3 = -1$.

7. 1) $\frac{x}{x+3}$; 2) $\frac{2x-5}{x+3}$.

8. $\frac{144}{v} - \frac{144}{v+2} = 1 \implies v^2 + 2v - 288 = 0 \implies v = 16$. Відповідь: 16 км/год та 18 км/год.

9. 1) $x = 4$; 2) $x = 2 \pm \sqrt{5}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для роботи з квадратними тричленами використовуємо дискримінант та теорему Вієта. Складні рівняння зводяться до квадратних за допомогою заміни змінної. У прикладних задачах на рух обов'язково враховуємо ОДЗ та фізичний зміст результатів.

1. Квадратним тричленом є многочлен другого степеня виду $ax^2 + bx + c$. Цій умові відповідає варіант А. У Б змінна в знаменнику, В — кубічний многочлен, Г — дробовий вираз.
Відповідь: А.

2. Обчислимо дискримінант за формулою $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121$.
Відповідь: Б.

3. Біквадратним є рівняння виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$, де $a \neq 0$. Цій структурі відповідає лише варіант Г.
Відповідь: Г.

4.
1) $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корені за теоремою Вієта: $x_1 = 3, x_2 = -1$. Розклад: $(x - 3)(x + 1)$.
2) $-2x^2 - 3x + 2 = 0$. $D = 9 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 25$. $x_1 = -2, x_2 = 0,5$. Розклад: $-2(x + 2)(x - 0,5) = -(x + 2)(2x - 1)$.

5.
1) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$. Заміна $x^2 = t, t \ge 0$. $t^2 - 3t - 4 = 0 \implies t_1 = 4, t_2 = -1$ (відкидаємо).
$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
2) $\frac{x^2}{x + 4} = \frac{16}{x + 4}$. ОДЗ: $x \neq -4$. Чисельники: $x^2 = 16 \implies x = \pm 4$. З урахуванням ОДЗ маємо один корінь: $x = 4$.

6. Винесемо $x$ за дужки: $x(x^2 - 5x - 6) = 0$.
Корені квадратного тричлена $x^2 - 5x - 6$ дорівнюють $6$ та $-1$.
Отже, $x(x - 6)(x + 1) = 0$. Корені рівняння: $0; 6; -1$.

7.
1) $\frac{x(x - 4)}{(x - 4)(x + 3)} = \frac{x}{x + 3}$.
2) $\frac{2x^2 - 11x + 15}{x^2 - 9}$. Корені чисельника: $3$ та $2,5$. Розклад: $(x - 3)(2x - 5)$.
$\frac{(x - 3)(2x - 5)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2x - 5}{x + 3}$.

8. Нехай швидкість другого велосипедиста $v$ км/год, тоді першого — $(v + 2)$ км/год. Рівняння за часом:
$\frac{144}{v} - \frac{144}{v + 2} = 1 \implies 144(v + 2) - 144v = v^2 + 2v \implies v^2 + 2v - 288 = 0$.
$D = 4 + 1152 = 1156 = 34^2$. $v = \frac{-2 + 34}{2} = 16$ км/год. Швидкості: 16 км/год та 18 км/год.

9.
1) $x + 2\sqrt{x} - 8 = 0$. Заміна $\sqrt{x} = t \ge 0$. $t^2 + 2t - 8 = 0 \implies t = 2 \implies x = 4$.
2) $(x - 2)^4 - 4(x - 2)^2 - 5 = 0$. Заміна $(x - 2)^2 = t \ge 0$. $t^2 - 4t - 5 = 0 \implies t = 5$.
$(x - 2)^2 = 5 \implies x - 2 = \pm\sqrt{5} \implies x = 2 \pm \sqrt{5}$.