ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №6 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть вираз, що є квадратним тричленом.
А. $\frac{1}{5x^2 + x - 9}$; Б. $5x^2 + x - 9x^3$; В. $\frac{5}{x^2} + x - 9$; Г. $5x^2 + x - 9$.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена $2x^2 - 5x - 9$.
А. -47; Б. 61; В. 97; Г. 99.

3. Укажіть рівняння, що є біквадратним.
А. $5x^3 + x^2 - 3 = 0$; Б. $5x^4 + x^2 - 3 = 0$;
В. $5x^4 + 2x^3 + x^2 - 3 = 0$; Г. $5x^2 + x - 3 = 0$.

4. Розкладіть квадратний тричлен на множники:
1) $x^2 + 3x - 4$; 2) $-2x^2 + 7x - 3$.

5. Знайдіть корені рівняння:
1) $x^4 + 2x^2 - 24 = 0$; 2) $\frac{x^2}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}$.

6. Розв'яжіть рівняння $x^3 - 6x^2 - 7x = 0$, розклавши його ліву частину на множники.

7. Скоротіть дріб:
1) $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 2x}$; 2) $\frac{x^2 - 25}{2x^2 - 11x + 5}$.

8. З одного міста в інше, відстань між якими 240 км, виїхали одночасно два мотоциклісти. Швидкість першого була на 8 км/год меншою за швидкість другого, тому він прибув у пункт призначення на 1 год пізніше. Знайдіть швидкість кожного з мотоциклістів.

9. Розв'яжіть рівняння:
1) $x + 5\sqrt{x} - 14 = 0$; 2) $(x + 3)^4 - 5(x + 3)^2 - 6 = 0$.

Короткий розв'язок

1. Многочлен вигляду $ax^2 + bx + c$. Відповідь: Г.

2. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 25 + 72 = 97$. Відповідь: В.

3. Рівняння вигляду $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Відповідь: Б.

4. 1) $(x-1)(x+4)$; 2) $-(x-3)(2x-1)$.

5. 1) $x = \pm 2$; 2) $x = -3$.

6. $x(x-7)(x+1) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 7, x_3 = -1$.

7. 1) $\frac{x+3}{x}$; 2) $\frac{x+5}{2x-1}$.

8. $\frac{240}{v-8} - \frac{240}{v} = 1 \implies v^2 - 8v - 1920 = 0 \implies v = 48$. Відповідь: 40 км/год та 48 км/год.

9. 1) $x = 4$; 2) $x = -3 \pm \sqrt{6}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення дробів та розв'язання рівнянь вищих степенів використовуємо розкладання на множники за допомогою коренів квадратного тричлена. У задачах на рух пам'ятайте про взаємозв'язок відстані, швидкості та часу ($t = S/v$) та завжди враховуйте ОДЗ для дробово-раціональних рівнянь.

1. Квадратним тричленом називається многочлен другого степеня виду $ax^2 + bx + c$. Цій умові відповідає лише варіант Г ($5x^2 + x - 9$).
Відповідь: Г.

2. Дискримінант обчислюється за формулою $D = b^2 - 4ac$. Для тричлена $2x^2 - 5x - 9$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 25 + 72 = 97$.
Відповідь: В.

3. Біквадратним називають рівняння виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$, де $a \neq 0$. Цій структурі відповідає варіант Б ($5x^4 + x^2 - 3 = 0$).
Відповідь: Б.

4.
1) $x^2 + 3x - 4 = 0$. За теоремою Вієта корені $1$ та $-4$. Розклад: $(x - 1)(x + 4)$.
2) $-2x^2 + 7x - 3 = 0$. $D = 49 - 24 = 25$. $x_1 = 3, x_2 = 0,5$. Розклад: $-2(x - 3)(x - 0,5) = -(x - 3)(2x - 1)$.

5.
1) $x^4 + 2x^2 - 24 = 0$. Нехай $x^2 = t, t \ge 0$. Тоді $t^2 + 2t - 24 = 0 \implies t_1 = 4, t_2 = -6$ (не підходить).
$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
2) $\frac{x^2}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}$. ОДЗ: $x \neq 3$. Маємо $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. Враховуючи ОДЗ, $x = -3$.

6. Винесемо $x$ за дужки: $x(x^2 - 6x - 7) = 0$.
Розкладемо тричлен у дужках (корені $7$ та $-1$): $x(x - 7)(x + 1) = 0$.
Корені рівняння: $0; 7; -1$.

7.
1) $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 2x} = \frac{(x + 3)(x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{x + 3}{x}$.
2) $\frac{x^2 - 25}{2x^2 - 11x + 5} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(2x - 1)} = \frac{x + 5}{2x - 1}$.

8. Нехай швидкість другого мотоцикліста $v$ км/год, тоді першого — $(v - 8)$ км/год. Складемо рівняння за часом:
$\frac{240}{v - 8} - \frac{240}{v} = 1 \implies 240v - 240(v - 8) = v(v - 8) \implies 1920 = v^2 - 8v$.
$v^2 - 8v - 1920 = 0$. $D = 64 + 7680 = 7744 = 88^2$.
$v = \frac{8 + 88}{2} = 48$ км/год. Швидкість першого: $48 - 8 = 40$ км/год.
Відповідь: 40 км/год та 48 км/год.

9.
1) $x + 5\sqrt{x} - 14 = 0$. Заміна $\sqrt{x} = t \ge 0$. $t^2 + 5t - 14 = 0 \implies t = 2 \implies x = 4$.
2) $(x + 3)^4 - 5(x + 3)^2 - 6 = 0$. Заміна $(x + 3)^2 = t \ge 0$. $t^2 - 5t - 6 = 0 \implies t = 6$.
$(x + 3)^2 = 6 \implies x + 3 = \pm\sqrt{6} \implies x = -3 \pm \sqrt{6}$.