ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №6 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть вираз, що є квадратним тричленом.
А. $\frac{9}{x^2} - x - 7$; Б. $9x^2 - x - 7x^3$; В. $9x^2 - x - 7$; Г. $\frac{1}{9x^2 - x - 7}$.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена $3x^2 + 2x - 7$.
А. 86; Б. -80; В. 32; Г. 88.

3. Укажіть рівняння, що є біквадратним.
А. $6x^4 + x^2 - 9 = 0$; Б. $6x^2 + x - 9 = 0$;
В. $6x^3 + x^2 - 9 = 0$; Г. $6x^4 + x^3 + x^2 - 9 = 0$.

4. Розкладіть квадратний тричлен на множники:
1) $x^2 - 3x - 4$; 2) $-2x^2 - 7x - 3$.

5. Знайдіть корені рівняння:
1) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$; 2) $\frac{x^2}{x + 5} = \frac{25}{x + 5}$.

6. Розв'яжіть рівняння $x^3 + 4x^2 - 5x = 0$, розклавши його ліву частину на множники.

7. Скоротіть дріб:
1) $\frac{x^2 + 3x}{x^2 + x - 6}$; 2) $\frac{3x^2 - 7x + 2}{x^2 - 4}$.

8. З одного міста в інше, відстань між якими 160 км, одночасно виїхали два потяги. Швидкість першого на 8 км/год менша від швидкості другого, тому він прибув у пункт призначення на 1 год пізніше. Знайдіть швидкість кожного з потягів.

9. Розв'яжіть рівняння:
1) $x + 2\sqrt{x} - 15 = 0$; 2) $(x - 2)^4 - 2(x - 2)^2 - 3 = 0$.

Короткий розв'язок

1. Многочлен вигляду $ax^2 + bx + c$. Відповідь: В.

2. $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 4 + 84 = 88$. Відповідь: Г.

3. Рівняння вигляду $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Відповідь: А.

4. 1) $(x-4)(x+1)$; 2) $-(x+3)(2x+1)$.

5. 1) $x = \pm 3$; 2) $x = 5$.

6. $x(x+5)(x-1) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -5, x_3 = 1$.

7. 1) $\frac{x}{x-2}$; 2) $\frac{3x-1}{x+2}$.

8. $\frac{160}{v-8} - \frac{160}{v} = 1 \implies v^2 - 8v - 1280 = 0 \implies v = 40$. Відповідь: 32 км/год та 40 км/год.

9. 1) $x = 9$; 2) $x = 2 \pm \sqrt{3}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: При розкладанні квадратного тричлена на лінійні множники використовуємо його корені та формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$. Рівняння вищих степенів (біквадратні, кубічні) розв'язуємо методом заміни змінної або винесенням спільного множника. У текстових задачах на рух завжди враховуємо ОДЗ для швидкостей та часу.

1. Квадратним тричленом є многочлен другого степеня виду $ax^2 + bx + c$. Цій умові відповідає лише варіант В ($9x^2 - x - 7$).
Відповідь: В.

2. Дискримінант обчислюється за формулою $D = b^2 - 4ac$. Для тричлена $3x^2 + 2x - 7$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 4 + 84 = 88$.
Відповідь: Г.

3. Біквадратним називають рівняння виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Цій структурі відповідає варіант А ($6x^4 + x^2 - 9 = 0$).
Відповідь: А.

4.
1) $x^2 - 3x - 4 = 0$. За теоремою Вієта корені $4$ та $-1$. Розклад: $(x - 4)(x + 1)$.
2) $-2x^2 - 7x - 3 = 0$. $D = 49 - 24 = 25$. $x_1 = -3, x_2 = -0,5$. Розклад: $-2(x + 3)(x + 0,5) = -(x + 3)(2x + 1)$.

5.
1) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$. Нехай $x^2 = t, t \ge 0$. Тоді $t^2 - 7t - 18 = 0 \implies t_1 = 9, t_2 = -2$ (не підходить).
$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
2) $\frac{x^2}{x + 5} = \frac{25}{x + 5}$. ОДЗ: $x \neq -5$. Маємо $x^2 = 25 \implies x = \pm 5$. Враховуючи ОДЗ, $x = 5$.

6. Винесемо $x$ за дужки: $x(x^2 + 4x - 5) = 0$.
Розкладемо тричлен у дужках (корені $1$ та $-5$): $x(x - 1)(x + 5) = 0$.
Корені рівняння: $0; 1; -5$.

7.
1) $\frac{x^2 + 3x}{x^2 + x - 6} = \frac{x(x + 3)}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{x}{x - 2}$.
2) $\frac{3x^2 - 7x + 2}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(3x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x - 1}{x + 2}$.

8. Нехай швидкість другого потяга $v$ км/год, тоді першого — $(v - 8)$ км/год. Складемо рівняння за часом:
$\frac{160}{v - 8} - \frac{160}{v} = 1 \implies 160v - 160(v - 8) = v(v - 8) \implies 1280 = v^2 - 8v$.
$v^2 - 8v - 1280 = 0$. $D = 64 + 5120 = 5184 = 72^2$.
$v = \frac{8 + 72}{2} = 40$ км/год. Швидкість першого: $40 - 8 = 32$ км/год.
Відповідь: 32 км/год та 40 км/год.

9.
1) $x + 2\sqrt{x} - 15 = 0$. Заміна $\sqrt{x} = t \ge 0$. $t^2 + 2t - 15 = 0 \implies t = 3 \implies x = 9$.
2) $(x - 2)^4 - 2(x - 2)^2 - 3 = 0$. Заміна $(x - 2)^2 = t \ge 0$. $t^2 - 2t - 3 = 0 \implies t = 3$.
$(x - 2)^2 = 3 \implies x - 2 = \pm\sqrt{3} \implies x = 2 \pm \sqrt{3}$.