ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Річна контрольна робота (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $\frac{3m - 7}{p} + \frac{7}{p} = ...$
А. $\frac{3m}{2p}$; Б. $\frac{3m}{p}$; В. $\frac{3m - 14}{p}$; Г. $\frac{3m + 14}{p}$.

2. Подайте вираз $a^{12} : a^{-2}$ у вигляді степеня з основою $a$.
А. $a^{10}$; Б. $a^{-6}$; В. $a^{14}$; Г. $a^{-24}$.

3. Для функції $y = \sqrt{x}$ знайдіть значення $y$, яке відповідає значенню $x = 16$.
А. $256$; Б. $-4$; В. $-4$ або $4$; Г. $4$.

4. Знайдіть значення виразу:
1) $\sqrt{2\frac{1}{4}} + 5\sqrt{0,16}$; 2) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{0,2} + (-\sqrt{3})^2$.

5. Спростіть вираз $-\frac{4}{9}m^{-3}n^5 \cdot 3\frac{3}{8}m^{-5}n^{-2}$.

6. Розв'яжіть рівняння:
1) $2x^2 + 9x + 4 = 0$;
2) $\frac{x^2}{x + 1} = \frac{2x + 3}{x + 1}$.

7. Спростіть вираз $\frac{3m}{m - 4} - \frac{m + 2}{2m - 8} \cdot \frac{96}{m^2 + 2m}$.

8. Моторний човен проплив 80 км за течією річки і повернувся назад, витративши на весь шлях 9 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.

9. Побудуйте графік функції $y = \frac{6x - 18}{3x - x^2}$.

Короткий розв'язок

1. $\frac{3m-7+7}{p} = \frac{3m}{p} \implies$ Б.

2. $a^{12 - (-2)} = a^{14} \implies$ В.

3. $y = \sqrt{16} = 4 \implies$ Г.

4. 1) $1,5 + 2 = 3,5$; 2) $1 + 3 = 4$.

5. $-1,5m^{-8}n^3$.

6. 1) $x_1 = -4, x_2 = -0,5$; 2) $x = 3$.

7. $\frac{3m+12}{m}$.

8. $v = 18$ км/год.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості арифметичного квадратного кореня, дії зі степенями та методи розв'язання раціональних рівнянь. У задачах на рух по воді швидкість за течією — $(v+v_{теч})$, проти — $(v-v_{теч})$.

1. $\frac{3m - 7}{p} + \frac{7}{p} = \frac{3m - 7 + 7}{p} = \frac{3m}{p}$.
Відповідь: Б.

2. За властивістю степеня $a^n : a^m = a^{n-m}$.
$a^{12} : a^{-2} = a^{12 - (-2)} = a^{12 + 2} = a^{14}$.
Відповідь: В.

3. $y = \sqrt{16} = 4$. Значення арифметичного кореня завжди невід’ємне.
Відповідь: Г.

4.
1) $\sqrt{\frac{9}{4}} + 5 \cdot 0,4 = 1,5 + 2 = 3,5$.
2) $\sqrt{5 \cdot 0,2} + 3 = \sqrt{1} + 3 = 1 + 3 = 4$.

5. $-\frac{4}{9}m^{-3}n^5 \cdot \frac{27}{8}m^{-5}n^{-2} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}m^{-3-5}n^{5-2} = -1,5m^{-8}n^3$.

6.
1) $2x^2 + 9x + 4 = 0$. $D = 81 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49$.
$x_1 = \frac{-9 + 7}{4} = -0,5$; $x_2 = \frac{-9 - 7}{4} = -4$.
2) ОДЗ: $x \neq -1$.
$x^2 = 2x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.
За теоремою Вієта $x_1 = 3, x_2 = -1$. З урахуванням ОДЗ: $x = 3$.

7. $\frac{3m}{m - 4} - \frac{m + 2}{2(m - 4)} \cdot \frac{96}{m(m + 2)} = \frac{3m}{m - 4} - \frac{48}{m(m - 4)} = \frac{3m^2 - 48}{m(m - 4)} = \frac{3(m - 4)(m + 4)}{m(m - 4)} = \frac{3(m + 4)}{m} = \frac{3m + 12}{m}$.

8. Нехай $v$ км/год — швидкість човна. Складемо рівняння за часом:
$\frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9 \implies 80(v - 2) + 80(v + 2) = 9(v^2 - 4)$;
$160v = 9v^2 - 36 \implies 9v^2 - 160v - 36 = 0$.
$D = 25600 + 1296 = 26896 = 164^2$.
$v = \frac{160 + 164}{18} = 18$ км/год.

9. Побудова графіка функції
Спростимо вираз: $y = \frac{6(x - 3)}{x(3 - x)} = -\frac{6(3 - x)}{x(3 - x)} = -\frac{6}{x}$ за умови $x \neq 3$ та $x \neq 0$.
Графіком є гіпербола $y = -6/x$ з "виколотою" точкою $(3; -2)$.