ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Річна контрольна робота (Варіант 2)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. $\frac{5x - 9}{m} + \frac{9}{m} = ...$
А. $\frac{5x + 18}{m}$; Б. $\frac{5x}{2m}$; В. $\frac{5x}{m}$; Г. $\frac{5x - 18}{m}$.
2. Подайте вираз $x^{15} : x^{-3}$ у вигляді степеня з основою $x$.
А. $x^{12}$; Б. $x^{18}$; В. $x^{-5}$; Г. $x^{-45}$.
3. Для функції $y = \sqrt{x}$ знайдіть значення $y$, яке відповідає значенню $x = 9$.
А. $3$; Б. $-3$ або $3$; В. $-3$; Г. $81$.
4. Знайдіть значення виразу:
1) $\sqrt{1\frac{7}{9}} + 5\sqrt{0,64}$; 2) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{0,5} + (-\sqrt{7})^2$.
5. Спростіть вираз $\frac{5}{9}a^{-2}b^4 \cdot \left(-2\frac{7}{10}a^{-5}b^{-2}\right)$.
6. Розв'яжіть рівняння:
1) $2x^2 + 9x - 5 = 0$;
2) $\frac{x^2}{x + 2} = \frac{2x + 8}{x + 2}$.
7. Спростіть вираз $\frac{5b}{b + 3} - \frac{b - 6}{3b + 9} \cdot \frac{135}{b^2 - 6b}$.
8. Катер проплив 72 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 10 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.
9. Побудуйте графік функції $y = \frac{4x - 8}{2x - x^2}$.
Короткий розв'язок
1. $\frac{5x-9+9}{m} = \frac{5x}{m} \implies$ В.
2. $x^{15 - (-3)} = x^{18} \implies$ Б.
3. $y = \sqrt{9} = 3 \implies$ А.
4. 1) $1\frac{1}{3} + 4 = 5\frac{1}{3}$; 2) $1 + 7 = 8$.
5. $-1,5a^{-7}b^2$.
6. 1) $x_1 = 0,5, x_2 = -5$; 2) $x = 4$.
7. $\frac{5b-15}{b}$.
8. $v = 15$ км/год.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для спрощення виразів використовуйте правила дій з дробами та властивості степенів. Графік функції будується після спрощення формули, але з обов'язковим урахуванням області допустимих значень (ОДЗ) початкового виразу (знаменник не дорівнює нулю).
1. Додаємо чисельники: $\frac{5x - 9}{m} + \frac{9}{m} = \frac{5x - 9 + 9}{m} = \frac{5x}{m}$.
Відповідь: В.
2. При діленні степенів з однаковою основою показники віднімаються: $x^{15} : x^{-3} = x^{15 - (-3)} = x^{15 + 3} = x^{18}$.
Відповідь: Б.
3. Підставимо $x = 9$: $y = \sqrt{9} = 3$. Значення кореня завжди невід'ємне.
Відповідь: А.
4.
1) $\sqrt{1\frac{7}{9}} + 5\sqrt{0,64} = \sqrt{\frac{16}{9}} + 5 \cdot 0,8 = \frac{4}{3} + 4 = 1\frac{1}{3} + 4 = 5\frac{1}{3}$.
2) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{0,5} + (-\sqrt{7})^2 = \sqrt{2 \cdot 0,5} + 7 = \sqrt{1} + 7 = 1 + 7 = 8$.
5. Перетворимо другий множник у неправильний дріб: $-2\frac{7}{10} = -\frac{27}{10}$.
$\frac{5}{9}a^{-2}b^4 \cdot \left(-\frac{27}{10}a^{-5}b^{-2}\right) = \left(\frac{5}{9} \cdot \left(-\frac{27}{10}\right)\right) \cdot a^{-2+(-5)} \cdot b^{4+(-2)} = -\frac{3}{2}a^{-7}b^2 = -1,5a^{-7}b^2$.
6.
1) $2x^2 + 9x - 5 = 0$. $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$.
$x_1 = \frac{-9 + 11}{4} = 0,5$; $x_2 = \frac{-9 - 11}{4} = -5$.
2) $\frac{x^2}{x + 2} = \frac{2x + 8}{x + 2}$. ОДЗ: $x \neq -2$.
$x^2 = 2x + 8 \implies x^2 - 2x - 8 = 0$.
За теоремою Вієта: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.
Корінь $-2$ не входить в ОДЗ, отже, $x = 4$.
7. $\frac{5b}{b + 3} - \frac{b - 6}{3(b + 3)} \cdot \frac{135}{b(b - 6)} = \frac{5b}{b + 3} - \frac{135}{3b(b + 3)} = \frac{5b}{b + 3} - \frac{45}{b(b + 3)}$.
Зведемо до спільного знаменника:
$\frac{5b^2 - 45}{b(b + 3)} = \frac{5(b^2 - 9)}{b(b + 3)} = \frac{5(b - 3)(b + 3)}{b(b + 3)} = \frac{5(b - 3)}{b} = \frac{5b - 15}{b}$.
8. Нехай власна швидкість катера $v$ км/год.
Рівняння: $\frac{72}{v + 3} + \frac{72}{v - 3} = 10$.
$72(v - 3) + 72(v + 3) = 10(v^2 - 9)$;
$144v = 10v^2 - 90 \implies 10v^2 - 144v - 90 = 0$.
Ділимо на 2: $5v^2 - 72v - 45 = 0$.
$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 = 78^2$.
$v_1 = \frac{72 + 78}{10} = 15$; $v_2 = \frac{72 - 78}{10} < 0$ (не підходить).
Відповідь: 15 км/год.
9. Побудова графіка функції
Спростимо функцію: $y = \frac{4x - 8}{2x - x^2} = \frac{4(x - 2)}{x(2 - x)} = \frac{-4(2 - x)}{x(2 - x)} = -\frac{4}{x}$.
ОДЗ: $2x - x^2 \neq 0 \implies x(2 - x) \neq 0 \implies x \neq 0$ і $x \neq 2$.
Графіком є гіпербола $y = -4/x$ з виколотою точкою при $x = 2$ (де $y = -2$).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.