ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Річна контрольна робота (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. $\frac{3a - 5}{b} + \frac{5}{b} = ...$
А. $\frac{3a}{b}$; Б. $\frac{3a}{2b}$; В. $\frac{3a + 10}{b}$; Г. $\frac{3a - 10}{b}$.
2. Подайте вираз $b^{14} : b^{-2}$ у вигляді степеня з основою $b$.
А. $b^{-28}$; Б. $b^{-7}$; В. $b^{12}$; Г. $b^{16}$.
3. Для функції $y = \sqrt{x}$ знайдіть значення $y$, яке відповідає значенню $x = 25$.
А. $-5$; Б. $5$; В. $-5$ або $5$; Г. $625$.
4. Знайдіть значення виразу:
1) $\sqrt{6\frac{1}{4}} + 10\sqrt{0,81}$; 2) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{0,1} + (-\sqrt{5})^2$.
5. Спростіть вираз $-\frac{4}{7}a^{-4}b^7 \cdot 1\frac{5}{16}a^{-3}b^{-2}$.
6. Розв'яжіть рівняння:
1) $2x^2 - 3x - 14 = 0$;
2) $\frac{x^2}{x - 1} = \frac{4x - 3}{x - 1}$.
7. Спростіть вираз $\frac{4x}{x - 4} - \frac{x + 4}{2x - 8} \cdot \frac{128}{x^2 + 4x}$.
8. Моторний човен витратив 5 год, щоб подолати 36 км проти течії річки і повернутися назад. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.
9. Побудуйте графік функції $y = \frac{12 - 6x}{x^2 - 2x}$.
Короткий розв'язок
1. $\frac{3a - 5 + 5}{b} = \frac{3a}{b} \implies$ А.
2. $b^{14 - (-2)} = b^{16} \implies$ Г.
3. $y = \sqrt{25} = 5 \implies$ Б.
4. 1) $2,5 + 9 = 11,5$; 2) $1 + 5 = 6$.
5. $-\frac{3}{4}a^{-7}b^5$.
6. 1) $x_1 = 3,5, x_2 = -2$; 2) $x = 3$.
7. $\frac{4x + 16}{x}$.
8. $v = 15$ км/год.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуйте властивості арифметичного квадратного кореня та степенів. При спрощенні виразів звертайте увагу на скорочення дробів. У задачах на рух пам'ятайте формулу $t = S/v$ та враховуйте швидкість течії. Для побудови графіка спочатку спростіть функцію та знайдіть її область визначення (ОДЗ).
1. $\frac{3a - 5}{b} + \frac{5}{b} = \frac{3a - 5 + 5}{b} = \frac{3a}{b}$.
Відповідь: А.
2. При діленні степенів з однаковою основою показники віднімаються: $b^{14} : b^{-2} = b^{14 - (-2)} = b^{14 + 2} = b^{16}$.
Відповідь: Г.
3. $y = \sqrt{25} = 5$. Значення кореня не може бути від'ємним.
Відповідь: Б.
4.
1) $\sqrt{6\frac{1}{4}} + 10\sqrt{0,81} = \sqrt{\frac{25}{4}} + 10 \cdot 0,9 = \frac{5}{2} + 9 = 2,5 + 9 = 11,5$.
2) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{0,1} + (-\sqrt{5})^2 = \sqrt{10 \cdot 0,1} + 5 = \sqrt{1} + 5 = 1 + 5 = 6$.
5. $-\frac{4}{7}a^{-4}b^7 \cdot 1\frac{5}{16}a^{-3}b^{-2} = -\frac{4}{7} \cdot \frac{21}{16} \cdot a^{-4-3} \cdot b^{7-2} = -\frac{3}{4}a^{-7}b^5$.
6.
1) $2x^2 - 3x - 14 = 0$. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121$.
$x_1 = \frac{3 + 11}{4} = 3,5$; $x_2 = \frac{3 - 11}{4} = -2$.
2) $\frac{x^2}{x - 1} = \frac{4x - 3}{x - 1}$. ОДЗ: $x \neq 1$.
$x^2 = 4x - 3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$.
За теоремою Вієта $x_1 = 3, x_2 = 1$. Корінь $x = 1$ не входить в ОДЗ, тому залишається $x = 3$.
7. $\frac{4x}{x - 4} - \frac{x + 4}{2(x - 4)} \cdot \frac{128}{x(x + 4)} = \frac{4x}{x - 4} - \frac{64}{x(x - 4)} = \frac{4x^2 - 64}{x(x - 4)} = \frac{4(x^2 - 16)}{x(x - 4)} = \frac{4(x - 4)(x + 4)}{x(x - 4)} = \frac{4(x + 4)}{x} = \frac{4x + 16}{x}$.
8. Нехай власна швидкість човна $v$ км/год.
Рівняння: $\frac{36}{v - 3} + \frac{36}{v + 3} = 5$.
$36(v + 3) + 36(v - 3) = 5(v^2 - 9)$;
$72v = 5v^2 - 45 \implies 5v^2 - 72v - 45 = 0$.
$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 = 78^2$.
$v_1 = \frac{72 + 78}{10} = 15$; $v_2 = \frac{72 - 78}{10} < 0$.
Відповідь: 15 км/год.
9. Побудова графіка функції
Спростимо вираз: $y = \frac{12 - 6x}{x^2 - 2x} = \frac{-6(x - 2)}{x(x - 2)} = -\frac{6}{x}$.
ОДЗ: $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x - 2) \neq 0 \implies x \neq 0$ і $x \neq 2$.
Графік — гіпербола $y = -\frac{6}{x}$ з виколотою точкою при $x = 2$ ($y = -3$).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.