ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Річна контрольна робота (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. $\frac{7a - 3}{x} + \frac{3}{x} = ...$
А. $\frac{7a - 6}{x}$; Б. $\frac{7a + 6}{x}$; В. $\frac{7a}{2x}$; Г. $\frac{7a}{x}$.
2. Подайте вираз $c^{16} : c^{-2}$ у вигляді степеня з основою $c$.
А. $c^{18}$; Б. $c^{-8}$; В. $c^{14}$; Г. $c^{-32}$.
3. Для функції $y = \sqrt{x}$ знайдіть значення $y$, яке відповідає значенню $x = 4$.
А. $-2$; Б. $-2$ або $2$; В. $2$; Г. $16$.
4. Знайдіть значення виразу:
1) $\sqrt{12\frac{1}{4}} + 5\sqrt{0,36}$; 2) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{0,05} + (-\sqrt{2})^2$.
5. Спростіть вираз $\frac{4}{9}x^{-3}y^8 \cdot \left(-1\frac{11}{16}x^{-2}y^{-3}\right)$.
6. Розв'яжіть рівняння:
1) $2x^2 - 5x - 18 = 0$;
2) $\frac{x^2}{x - 2} = \frac{5x - 6}{x - 2}$.
7. Спростіть вираз $\frac{2c}{c + 3} - \frac{c - 3}{2c + 6} \cdot \frac{36}{c^2 - 3c}$.
8. Катер проплив 120 км за течією річки і повернувся назад, витративши на весь шлях 11 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.
9. Побудуйте графік функції $y = \frac{16 - 8x}{x^2 - 2x}$.
Короткий розв'язок
1. $\frac{7a - 3 + 3}{x} = \frac{7a}{x} \implies$ Г.
2. $c^{16 - (-2)} = c^{18} \implies$ А.
3. $y = \sqrt{4} = 2 \implies$ В.
4. 1) $3,5 + 3 = 6,5$; 2) $1 + 2 = 3$.
5. $-\frac{3}{4}x^{-5}y^5$.
6. 1) $x_1 = 4,5, x_2 = -2$; 2) $x = 3$.
7. $\frac{2c - 6}{c}$.
8. $v = 22$ км/год.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості арифметичного квадратного кореня та степенів. Для раціональних рівнянь обов'язково знаходимо ОДЗ (знаменник $\ne 0$). У задачах на рух пам'ятаємо, що $t = \frac{S}{v}$. Графік функції будується після спрощення формули, враховуючи виколоті точки.
1. Додаємо чисельники, знаменник залишаємо без змін: $\frac{7a - 3}{x} + \frac{3}{x} = \frac{7a - 3 + 3}{x} = \frac{7a}{x}$.
Відповідь: Г.
2. При діленні степенів показники віднімаються: $c^{16} : c^{-2} = c^{16 - (-2)} = c^{16 + 2} = c^{18}$.
Відповідь: А.
3. $y = \sqrt{4} = 2$. Значення арифметичного кореня завжди невід'ємне.
Відповідь: В.
4.
1) $\sqrt{12\frac{1}{4}} + 5\sqrt{0,36} = \sqrt{\frac{49}{4}} + 5 \cdot 0,6 = \frac{7}{2} + 3 = 3,5 + 3 = 6,5$.
2) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{0,05} + (-\sqrt{2})^2 = \sqrt{20 \cdot 0,05} + 2 = \sqrt{1} + 2 = 1 + 2 = 3$.
5. $\frac{4}{9}x^{-3}y^8 \cdot \left(-1\frac{11}{16}x^{-2}y^{-3}\right) = \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{27}{16}\right) \cdot x^{-3-2} \cdot y^{8-3} = -\frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 16} x^{-5}y^5 = -\frac{3}{4}x^{-5}y^5$.
6.
1) $2x^2 - 5x - 18 = 0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169$.
$x_1 = \frac{5 + 13}{4} = 4,5$; $x_2 = \frac{5 - 13}{4} = -2$.
2) $\frac{x^2}{x - 2} = \frac{5x - 6}{x - 2}$. ОДЗ: $x \neq 2$.
$x^2 = 5x - 6 \implies x^2 - 5x + 6 = 0$.
За теоремою Вієта $x_1 = 3, x_2 = 2$. Корінь $x = 2$ не входить в ОДЗ, тому залишається $x = 3$.
7. $\frac{2c}{c + 3} - \frac{c - 3}{2(c + 3)} \cdot \frac{36}{c(c - 3)} = \frac{2c}{c + 3} - \frac{18}{c(c + 3)} = \frac{2c^2 - 18}{c(c + 3)} = \frac{2(c^2 - 9)}{c(c + 3)} = \frac{2(c - 3)(c + 3)}{c(c + 3)} = \frac{2(c - 3)}{c} = \frac{2c - 6}{c}$.
8. Нехай власна швидкість катера $v$ км/год.
Рівняння: $\frac{120}{v + 2} + \frac{120}{v - 2} = 11$.
$120(v - 2) + 120(v + 2) = 11(v^2 - 4)$;
$240v = 11v^2 - 44 \implies 11v^2 - 240v - 44 = 0$.
$D = 57600 + 1936 = 59536 = 244^2$.
$v_1 = \frac{240 + 244}{22} = 22$; $v_2 = \frac{240 - 244}{22} < 0$.
Відповідь: 22 км/год.
9. Побудова графіка функції
Спростимо вираз: $y = \frac{16 - 8x}{x^2 - 2x} = \frac{-8(x - 2)}{x(x - 2)} = -\frac{8}{x}$.
ОДЗ: $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x - 2) \neq 0 \implies x \neq 0$ і $x \neq 2$.
Графік — гіпербола $y = -\frac{8}{x}$ з виколотою точкою при $x = 2$ ($y = -4$).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.